MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Unicode version

Theorem latmle2 14183
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (inss2 3390 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14157 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet2 14133 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   meetcmee 14079   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  latmlem1  14187  latledi  14195  mod1ile  14211  oldmm1  29407  olm01  29426  cmtcomlemN  29438  cmtbr4N  29445  meetat  29486  cvrexchlem  29608  cvrat4  29632  2llnmj  29749  2lplnmj  29811  dalem25  29887  dalem54  29915  dalem57  29918  cdlema1N  29980  cdlemb  29983  llnexchb2lem  30057  llnexch2N  30059  dalawlem1  30060  dalawlem3  30062  pl42lem1N  30168  lhpelim  30226  lhpat3  30235  4atexlemunv  30255  4atexlemtlw  30256  4atexlemnclw  30259  4atexlemex2  30260  lautm  30283  trlle  30373  cdlemc2  30381  cdlemc5  30384  cdlemd2  30388  cdleme0b  30401  cdleme0c  30402  cdleme0fN  30407  cdleme01N  30410  cdleme0ex1N  30412  cdleme2  30417  cdleme3b  30418  cdleme3c  30419  cdleme3g  30423  cdleme3h  30424  cdleme7aa  30431  cdleme7c  30434  cdleme7d  30435  cdleme7e  30436  cdleme7ga  30437  cdleme11fN  30453  cdleme11k  30457  cdleme15d  30466  cdleme16f  30472  cdlemednpq  30488  cdleme19c  30494  cdleme20aN  30498  cdleme20c  30500  cdleme20j  30507  cdleme21c  30516  cdleme21ct  30518  cdleme22cN  30531  cdleme22f  30535  cdleme23a  30538  cdleme28a  30559  cdleme35d  30641  cdleme35f  30643  cdlemeg46frv  30714  cdlemeg46rgv  30717  cdlemeg46req  30718  cdlemg2fv2  30789  cdlemg2m  30793  cdlemg4  30806  cdlemg10bALTN  30825  cdlemg31b  30887  trlcolem  30915  cdlemk14  31043  dia2dimlem1  31254  docaclN  31314  doca2N  31316  djajN  31327  dihjustlem  31406  dihord1  31408  dihord2a  31409  dihord2b  31410  dihord2cN  31411  dihord11b  31412  dihord11c  31414  dihord2pre  31415  dihlsscpre  31424  dihvalcq2  31437  dihopelvalcpre  31438  dihord6apre  31446  dihord5b  31449  dihord5apre  31452  dihmeetlem1N  31480  dihglblem5apreN  31481  dihglblem3N  31485  dihmeetbclemN  31494  dihmeetlem4preN  31496  dihmeetlem7N  31500  dihmeetlem9N  31505  dihjatcclem4  31611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-glb 14109  df-meet 14111  df-lat 14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator