MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Unicode version

Theorem latmle2 14393
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (inss2 3478 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14367 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet2 14343 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   lecple 13423   meetcmee 14289   Latclat 14361
This theorem is referenced by:  latmlem1  14397  latledi  14405  mod1ile  14421  oldmm1  29466  olm01  29485  cmtcomlemN  29497  cmtbr4N  29504  meetat  29545  cvrexchlem  29667  cvrat4  29691  2llnmj  29808  2lplnmj  29870  dalem25  29946  dalem54  29974  dalem57  29977  cdlema1N  30039  cdlemb  30042  llnexchb2lem  30116  llnexch2N  30118  dalawlem1  30119  dalawlem3  30121  pl42lem1N  30227  lhpelim  30285  lhpat3  30294  4atexlemunv  30314  4atexlemtlw  30315  4atexlemnclw  30318  4atexlemex2  30319  lautm  30342  trlle  30432  cdlemc2  30440  cdlemc5  30443  cdlemd2  30447  cdleme0b  30460  cdleme0c  30461  cdleme0fN  30466  cdleme01N  30469  cdleme0ex1N  30471  cdleme2  30476  cdleme3b  30477  cdleme3c  30478  cdleme3g  30482  cdleme3h  30483  cdleme7aa  30490  cdleme7c  30493  cdleme7d  30494  cdleme7e  30495  cdleme7ga  30496  cdleme11fN  30512  cdleme11k  30516  cdleme15d  30525  cdleme16f  30531  cdlemednpq  30547  cdleme19c  30553  cdleme20aN  30557  cdleme20c  30559  cdleme20j  30566  cdleme21c  30575  cdleme21ct  30577  cdleme22cN  30590  cdleme22f  30594  cdleme23a  30597  cdleme28a  30618  cdleme35d  30700  cdleme35f  30702  cdlemeg46frv  30773  cdlemeg46rgv  30776  cdlemeg46req  30777  cdlemg2fv2  30848  cdlemg2m  30852  cdlemg4  30865  cdlemg10bALTN  30884  cdlemg31b  30946  trlcolem  30974  cdlemk14  31102  dia2dimlem1  31313  docaclN  31373  doca2N  31375  djajN  31386  dihjustlem  31465  dihord1  31467  dihord2a  31468  dihord2b  31469  dihord2cN  31470  dihord11b  31471  dihord11c  31473  dihord2pre  31474  dihlsscpre  31483  dihvalcq2  31496  dihopelvalcpre  31497  dihord6apre  31505  dihord5b  31508  dihord5apre  31511  dihmeetlem1N  31539  dihglblem5apreN  31540  dihglblem3N  31544  dihmeetbclemN  31553  dihmeetlem4preN  31555  dihmeetlem7N  31559  dihmeetlem9N  31564  dihjatcclem4  31670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-glb 14319  df-meet 14321  df-lat 14362
  Copyright terms: Public domain W3C validator