MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Structured version   Unicode version

Theorem latmle2 14511
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (inss2 3564 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14485 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet2 14461 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
63, 5mpdan 651 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   meetcmee 14407   Latclat 14479
This theorem is referenced by:  latmlem1  14515  latledi  14523  mod1ile  14539  oldmm1  30089  olm01  30108  cmtcomlemN  30120  cmtbr4N  30127  meetat  30168  cvrexchlem  30290  cvrat4  30314  2llnmj  30431  2lplnmj  30493  dalem25  30569  dalem54  30597  dalem57  30600  cdlema1N  30662  cdlemb  30665  llnexchb2lem  30739  llnexch2N  30741  dalawlem1  30742  dalawlem3  30744  pl42lem1N  30850  lhpelim  30908  lhpat3  30917  4atexlemunv  30937  4atexlemtlw  30938  4atexlemnclw  30941  4atexlemex2  30942  lautm  30965  trlle  31055  cdlemc2  31063  cdlemc5  31066  cdlemd2  31070  cdleme0b  31083  cdleme0c  31084  cdleme0fN  31089  cdleme01N  31092  cdleme0ex1N  31094  cdleme2  31099  cdleme3b  31100  cdleme3c  31101  cdleme3g  31105  cdleme3h  31106  cdleme7aa  31113  cdleme7c  31116  cdleme7d  31117  cdleme7e  31118  cdleme7ga  31119  cdleme11fN  31135  cdleme11k  31139  cdleme15d  31148  cdleme16f  31154  cdlemednpq  31170  cdleme19c  31176  cdleme20aN  31180  cdleme20c  31182  cdleme20j  31189  cdleme21c  31198  cdleme21ct  31200  cdleme22cN  31213  cdleme22f  31217  cdleme23a  31220  cdleme28a  31241  cdleme35d  31323  cdleme35f  31325  cdlemeg46frv  31396  cdlemeg46rgv  31399  cdlemeg46req  31400  cdlemg2fv2  31471  cdlemg2m  31475  cdlemg4  31488  cdlemg10bALTN  31507  cdlemg31b  31569  trlcolem  31597  cdlemk14  31725  dia2dimlem1  31936  docaclN  31996  doca2N  31998  djajN  32009  dihjustlem  32088  dihord1  32090  dihord2a  32091  dihord2b  32092  dihord2cN  32093  dihord11b  32094  dihord11c  32096  dihord2pre  32097  dihlsscpre  32106  dihvalcq2  32119  dihopelvalcpre  32120  dihord6apre  32128  dihord5b  32131  dihord5apre  32134  dihmeetlem1N  32162  dihglblem5apreN  32163  dihglblem3N  32167  dihmeetbclemN  32176  dihmeetlem4preN  32178  dihmeetlem7N  32182  dihmeetlem9N  32187  dihjatcclem4  32293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-glb 14437  df-meet 14439  df-lat 14480
  Copyright terms: Public domain W3C validator