MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattr Unicode version

Theorem lattr 14162
Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3187 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latref.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
lattr  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )

Proof of Theorem lattr
StepHypRef Expression
1 latpos 14155 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
2 latref.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 latref.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
42, 3postr 14087 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
51, 4sylan 457 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  lattrd  14164  latjlej1  14171  latjlej12  14173  latnlej2  14177  latmlem1  14187  latmlem12  14189  clatleglb  14230  lecmtN  29446  hlrelat2  29592  ps-2  29667  dalem3  29853  dalem17  29869  dalem21  29883  dalem25  29887  linepsubN  29941  pmapsub  29957  cdlemblem  29982  pmapjoin  30041  lhpmcvr4N  30215  4atexlemnclw  30259  cdlemd3  30389  cdleme3g  30423  cdleme3h  30424  cdleme7d  30435  cdleme21c  30516  cdleme32b  30631  cdleme35fnpq  30638  cdleme35f  30643  cdleme48bw  30691  cdlemf1  30750  cdlemg2fv2  30789  cdlemg7fvbwN  30796  cdlemg4  30806  cdlemg6c  30809  cdlemg27a  30881  cdlemg33b0  30890  cdlemg33a  30895  cdlemk3  31022  dia2dimlem1  31254  dihord6b  31450  dihord5apre  31452  dihglbcpreN  31490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-poset 14080  df-lat 14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator