MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattr Structured version   Unicode version

Theorem lattr 14487
Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3358 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latref.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
lattr  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )

Proof of Theorem lattr
StepHypRef Expression
1 latpos 14480 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
2 latref.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 latref.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
42, 3postr 14412 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
51, 4sylan 459 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Basecbs 13471   lecple 13538   Posetcpo 14399   Latclat 14476
This theorem is referenced by:  lattrd  14489  latjlej1  14496  latjlej12  14498  latnlej2  14502  latmlem1  14512  latmlem12  14514  clatleglb  14555  lecmtN  30056  hlrelat2  30202  ps-2  30277  dalem3  30463  dalem17  30479  dalem21  30493  dalem25  30497  linepsubN  30551  pmapsub  30567  cdlemblem  30592  pmapjoin  30651  lhpmcvr4N  30825  4atexlemnclw  30869  cdlemd3  30999  cdleme3g  31033  cdleme3h  31034  cdleme7d  31045  cdleme21c  31126  cdleme32b  31241  cdleme35fnpq  31248  cdleme35f  31253  cdleme48bw  31301  cdlemf1  31360  cdlemg2fv2  31399  cdlemg7fvbwN  31406  cdlemg4  31416  cdlemg6c  31419  cdlemg27a  31491  cdlemg33b0  31500  cdlemg33a  31505  cdlemk3  31632  dia2dimlem1  31864  dihord6b  32060  dihord5apre  32062  dihglbcpreN  32100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4340
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086  df-poset 14405  df-lat 14477
  Copyright terms: Public domain W3C validator