MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattr Unicode version

Theorem lattr 14178
Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3200 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latref.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
lattr  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )

Proof of Theorem lattr
StepHypRef Expression
1 latpos 14171 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
2 latref.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 latref.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
42, 3postr 14103 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
51, 4sylan 457 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   Latclat 14167
This theorem is referenced by:  lattrd  14180  latjlej1  14187  latjlej12  14189  latnlej2  14193  latmlem1  14203  latmlem12  14205  clatleglb  14246  lecmtN  30068  hlrelat2  30214  ps-2  30289  dalem3  30475  dalem17  30491  dalem21  30505  dalem25  30509  linepsubN  30563  pmapsub  30579  cdlemblem  30604  pmapjoin  30663  lhpmcvr4N  30837  4atexlemnclw  30881  cdlemd3  31011  cdleme3g  31045  cdleme3h  31046  cdleme7d  31057  cdleme21c  31138  cdleme32b  31253  cdleme35fnpq  31260  cdleme35f  31265  cdleme48bw  31313  cdlemf1  31372  cdlemg2fv2  31411  cdlemg7fvbwN  31418  cdlemg4  31428  cdlemg6c  31431  cdlemg27a  31503  cdlemg33b0  31512  cdlemg33a  31517  cdlemk3  31644  dia2dimlem1  31876  dihord6b  32072  dihord5apre  32074  dihglbcpreN  32112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-poset 14096  df-lat 14168
  Copyright terms: Public domain W3C validator