Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautco Structured version   Unicode version

Theorem lautco 30821
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lautco.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautco  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
)  e.  I )

Proof of Theorem lautco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 lautco.i . . . . 5  |-  I  =  ( LAut `  K
)
31, 2laut1o 30809 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I )  ->  F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
433adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
51, 2laut1o 30809 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
653adant2 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
7 f1oco 5690 . . 3  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
84, 6, 7syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
9 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  K  e.  V )
10 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  F  e.  I )
11 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  G  e.  I )
12 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
131, 2lautcl 30811 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( G `  x )  e.  (
Base `  K )
)
149, 11, 12, 13syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  K
) )
15 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
161, 2lautcl 30811 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( G `  y )  e.  (
Base `  K )
)
179, 11, 15, 16syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  K
) )
18 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
191, 18, 2lautle 30808 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I
)  /\  ( ( G `  x )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( G `  x
) ( le `  K ) ( G `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
209, 10, 14, 17, 19syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( G `  x
) ( le `  K ) ( G `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
211, 18, 2lautle 30808 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( G `  x ) ( le
`  K ) ( G `  y ) ) )
22213adantl2 1114 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( G `  x ) ( le
`  K ) ( G `  y ) ) )
23 f1of 5666 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
246, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
25 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
26 fvco3 5792 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
2724, 25, 26syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
28 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
29 fvco3 5792 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3024, 28, 29syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3127, 30breq12d 4217 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( F  o.  G ) `  x
) ( le `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
3220, 22, 313bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) )
3332ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) )
341, 18, 2islaut 30807 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( F  o.  G
)  e.  I  <->  ( ( F  o.  G ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) ) ) )
35343ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  I  <->  ( ( F  o.  G
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) ) ) )
368, 33, 35mpbir2and 889 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
)  e.  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528   LAutclaut 30709
This theorem is referenced by:  ldilco  30840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-laut 30713
  Copyright terms: Public domain W3C validator