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Theorem lautcvr 30903
Description: Covering property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcvr.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautcvr.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lautcvr.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautcvr  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( F `  X ) C ( F `  Y ) ) )

Proof of Theorem lautcvr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautcvr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3 lautcvr.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3lautlt 30902 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
5 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  K  e.  A )
6 simplr1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  F  e.  I )
7 simplr2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  B )
91, 2, 3lautlt 30902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
11 simplr3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  Y  e.  B )
121, 2, 3lautlt 30902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  w  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
135, 6, 8, 11, 12syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
1410, 13anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  <->  ( ( F `
 X ) ( lt `  K ) ( F `  w
)  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
151, 3lautcl 30898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  w  e.  B )  ->  ( F `  w )  e.  B )
165, 6, 8, 15syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  ( F `  w )  e.  B )
17 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) z  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
18 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
z ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
1917, 18anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  <->  ( ( F `
 X ) ( lt `  K ) ( F `  w
)  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
2019rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  B  /\  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) )
2120ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2216, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2314, 22sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2423rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
25 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  A )
26 simplr1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  F  e.  I )
27 simplr2 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  X  e.  B )
281, 3laut1o 30896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
2925, 26, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
30 f1ocnvdm 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  B
)
3129, 30sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  B )
321, 2, 3lautlt 30902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  ( `' F `  z )  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  <-> 
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) ) ) )
3325, 26, 27, 31, 32syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  <-> 
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) ) ) )
34 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3529, 34sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
3635breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) )  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) z ) )
3733, 36bitr2d 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) z  <->  X ( lt `  K ) ( `' F `  z ) ) )
38 simplr3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  Y  e.  B )
391, 2, 3lautlt 30902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  ( `' F `  z )  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y  <-> 
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) )
4025, 26, 31, 38, 39syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y  <-> 
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) )
4135breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  z ( lt `  K ) ( F `  Y ) ) )
4240, 41bitr2d 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
z ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  z )
( lt `  K
) Y ) )
4337, 42anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  <->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt `  K
) Y ) ) )
44 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  X ( lt `  K ) ( `' F `  z ) ) )
45 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( `' F `  z )
( lt `  K
) Y ) )
4644, 45anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  <->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt `  K
) Y ) ) )
4746rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  B  /\  ( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) )
4847ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F `  z )  e.  B  ->  (
( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
4931, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5043, 49sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5150rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5224, 51impbid 183 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
5352notbid 285 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( -.  E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
544, 53anbi12d 691 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( lt
`  K ) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) )  <-> 
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) ) )
55 lautcvr.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
561, 2, 55cvrval 30081 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X ( lt
`  K ) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) ) )
57563adant3r1 1160 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( X
( lt `  K
) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y ) ) ) )
58 simpl 443 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  A )
59 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
60 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
611, 3lautcl 30898 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X )  e.  B )
6258, 59, 60, 61syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
63 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
641, 3lautcl 30898 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
6558, 59, 63, 64syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
661, 2, 55cvrval 30081 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
) C ( F `
 Y )  <->  ( ( F `  X )
( lt `  K
) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X
) ( lt `  K ) z  /\  z ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) ) ) )
6758, 62, 65, 66syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
) C ( F `
 Y )  <->  ( ( F `  X )
( lt `  K
) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X
) ( lt `  K ) z  /\  z ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) ) ) )
6854, 57, 673bitr4d 276 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( F `  X ) C ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   Basecbs 13164   ltcplt 14091    <o ccvr 30074   LAutclaut 30796
This theorem is referenced by:  ltrncvr  30944
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-plt 14108  df-covers 30078  df-laut 30800
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