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Theorem lautj 30209
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lautj.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautj  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautj
StepHypRef Expression
1 lautj.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2389 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 444 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 519 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautj.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
71, 6latjcl 14408 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
9 lautj.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 30203 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
12 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 30203 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 30203 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latjcl 14408 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 9laut1o 30201 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
21203ad2antr1 1122 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
22 f1ocnvfv1 5955 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( `' F `  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  =  ( X 
.\/  Y ) )
2321, 8, 22syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
241, 2, 6latlej1 14418 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
253, 14, 17, 24syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
26 f1ocnvfv2 5956 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
2825, 27breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
29 f1ocnvdm 5959 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
3021, 19, 29syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
311, 2, 9lautle 30200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
325, 12, 30, 31syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3328, 32mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
341, 2, 6latlej2 14419 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
353, 14, 17, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
3635, 27breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
371, 2, 9lautle 30200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
385, 15, 30, 37syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3936, 38mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
401, 2, 6latjle12 14420 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
413, 12, 15, 30, 40syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4233, 39, 41mpbi2and 888 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
4323, 42eqbrtrd 4175 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
441, 2, 9lautcnvle 30205 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B ) )  ->  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
455, 11, 19, 44syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) )  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4643, 45mpbird 224 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
471, 2, 6latlej1 14418 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
48473adant3r1 1162 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
491, 2, 9lautle 30200 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
505, 12, 8, 49syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
521, 2, 6latlej2 14419 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
53523adant3r1 1162 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
541, 2, 9lautle 30200 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( Y ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
555, 15, 8, 54syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5653, 55mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
571, 2, 6latjle12 14420 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y
)  e.  B  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( F `  X ) ( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) )  /\  ( F `
 Y ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
583, 14, 17, 11, 57syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  /\  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
5951, 56, 58mpbi2and 888 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
601, 2, 3, 11, 19, 46, 59latasymd 14415 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   `'ccnv 4819   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   lecple 13465   joincjn 14330   Latclat 14403   LAutclaut 30101
This theorem is referenced by:  ltrnj  30248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-map 6958  df-poset 14332  df-lub 14360  df-join 14362  df-lat 14404  df-laut 30105
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