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Theorem lautj 30282
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lautj.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautj  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautj
StepHypRef Expression
1 lautj.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2283 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 443 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 518 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautj.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
71, 6latjcl 14156 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1160 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
9 lautj.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 30276 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
12 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 30276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 30276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latjcl 14156 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 9laut1o 30274 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
21203ad2antr1 1120 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
22 f1ocnvfv1 5792 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( `' F `  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  =  ( X 
.\/  Y ) )
2321, 8, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
241, 2, 6latlej1 14166 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
253, 14, 17, 24syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
26 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
2825, 27breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
29 f1ocnvdm 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
3021, 19, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
311, 2, 9lautle 30273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
325, 12, 30, 31syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3328, 32mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
341, 2, 6latlej2 14167 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
353, 14, 17, 34syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
3635, 27breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
371, 2, 9lautle 30273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
385, 15, 30, 37syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3936, 38mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
401, 2, 6latjle12 14168 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
413, 12, 15, 30, 40syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4233, 39, 41mpbi2and 887 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
4323, 42eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
441, 2, 9lautcnvle 30278 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B ) )  ->  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
455, 11, 19, 44syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) )  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4643, 45mpbird 223 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
471, 2, 6latlej1 14166 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
48473adant3r1 1160 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
491, 2, 9lautle 30273 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
505, 12, 8, 49syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
521, 2, 6latlej2 14167 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
53523adant3r1 1160 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
541, 2, 9lautle 30273 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( Y ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
555, 15, 8, 54syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5653, 55mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
571, 2, 6latjle12 14168 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y
)  e.  B  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( F `  X ) ( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) )  /\  ( F `
 Y ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
583, 14, 17, 11, 57syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  /\  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
5951, 56, 58mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
601, 2, 3, 11, 19, 46, 59latasymd 14163 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   LAutclaut 30174
This theorem is referenced by:  ltrnj  30321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152  df-laut 30178
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