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Theorem lautlt 30280
Description: Less-than property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautlt.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautlt.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lautlt.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautlt  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( F `  X )  .<  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautlt
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  A )
2 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
3 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 lautlt.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7 lautlt.i . . . . 5  |-  I  =  ( LAut `  K
)
85, 6, 7lautle 30273 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( le
`  K ) Y  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 Y ) ) )
91, 2, 3, 4, 8syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
105, 7laut11 30275 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( F `  X )  =  ( F `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
111, 2, 3, 4, 10syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  =  ( F `
 Y )  <->  X  =  Y ) )
1211bicomd 192 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  =  Y  <->  ( F `  X )  =  ( F `  Y ) ) )
1312necon3bid 2481 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  =/=  Y  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
149, 13anbi12d 691 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) Y  /\  X  =/=  Y
)  <->  ( ( F `
 X ) ( le `  K ) ( F `  Y
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) ) )
15 lautlt.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
166, 15pltval 14094 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
17163adant3r1 1160 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
185, 7lautcl 30276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X )  e.  B )
191, 2, 3, 18syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
205, 7lautcl 30276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
211, 2, 4, 20syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
226, 15pltval 14094 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .<  ( F `  Y )  <->  ( ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
) ) ) )
231, 19, 21, 22syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .<  ( F `  Y )  <->  ( ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
) ) ) )
2414, 17, 233bitr4d 276 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( F `  X )  .<  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   ltcplt 14075   LAutclaut 30174
This theorem is referenced by:  lautcvr  30281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-plt 14092  df-laut 30178
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