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Theorem lautm 30283
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautm.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lautm.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautm  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautm
StepHypRef Expression
1 lautm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2283 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 443 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 518 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautm.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
71, 6latmcl 14157 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1160 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
9 lautm.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 30276 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
12 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 30276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 30276 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latmcl 14157 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 2, 6latmle1 14182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
21203adant3r1 1160 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
221, 2, 9lautle 30273 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
235, 8, 12, 22syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
2421, 23mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
251, 2, 6latmle2 14183 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
26253adant3r1 1160 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
271, 2, 9lautle 30273 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
285, 8, 15, 27syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
2926, 28mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
301, 2, 6latlem12 14184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( F `  X )  /\  ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y ) )  <-> 
( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
313, 11, 14, 17, 30syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  /\  ( F `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( F `  Y ) )  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( ( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
3224, 29, 31mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
331, 9laut1o 30274 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
34333ad2antr1 1120 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
35 f1ocnvfv2 5793 . . . 4  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )
3634, 19, 35syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) )
371, 2, 6latmle1 14182 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
383, 14, 17, 37syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
391, 2, 9lautcnvle 30278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 X )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
405, 19, 14, 39syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
4138, 40mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  X
) ) )
42 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  X  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  X ) )  =  X )
4334, 12, 42syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 X ) )  =  X )
4441, 43breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) X )
451, 2, 6latmle2 14183 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
463, 14, 17, 45syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
471, 2, 9lautcnvle 30278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
485, 19, 17, 47syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
4946, 48mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  Y
) ) )
50 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  Y  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  Y ) )  =  Y )
5134, 15, 50syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 Y ) )  =  Y )
5249, 51breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) Y )
53 f1ocnvdm 5796 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
5434, 19, 53syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
551, 2, 6latlem12 14184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
563, 54, 12, 15, 55syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
5744, 52, 56mpbi2and 887 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  Y ) )
581, 2, 9lautle 30273 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
595, 54, 8, 58syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
6057, 59mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ) ( le `  K
) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
6136, 60eqbrtrrd 4045 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
621, 2, 3, 11, 19, 32, 61latasymd 14163 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   meetcmee 14079   Latclat 14151   LAutclaut 30174
This theorem is referenced by:  ltrnm  30320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-glb 14109  df-meet 14111  df-lat 14152  df-laut 30178
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