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Theorem lautset 30271
Description: The set of lattice automorphisms. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lautset.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautset  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y, B    f, K, x, y    .<_ , f
Allowed substitution hints:    A( x, y, f)    I( x, y, f)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem lautset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 lautset.i . . 3  |-  I  =  ( LAut `  K
)
3 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
4 lautset.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
6 f1oeq2 5464 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( f : ( Base `  k
)
-1-1-onto-> ( Base `  k )  <->  f : B -1-1-onto-> ( Base `  k
) ) )
75, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> ( Base `  k ) ) )
8 f1oeq3 5465 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( f : B -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> B
) )
95, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : B -1-1-onto-> ( Base `  k )  <->  f : B
-1-1-onto-> B ) )
107, 9bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> B
) )
11 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
12 lautset.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
1311, 12syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1413breqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
x ( le `  k ) y  <->  x  .<_  y ) )
1513breqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( f `  x
) ( le `  k ) ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )
1614, 15bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( x ( le
`  k ) y  <-> 
( f `  x
) ( le `  k ) ( f `
 y ) )  <-> 
( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
175, 16raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
185, 17raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. x  e.  ( Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k
) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
1910, 18anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( f : (
Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k )  /\  A. x  e.  ( Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k
) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) )  <->  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) ) )
2019abbidv 2397 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { f  |  ( f : ( Base `  k
)
-1-1-onto-> ( Base `  k )  /\  A. x  e.  (
Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
21 df-laut 30178 . . . 4  |-  LAut  =  ( k  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  /\  A. x  e.  ( Base `  k
) A. y  e.  ( Base `  k
) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) ) } )
22 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  e.  _V
234, 22eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2423, 23mapval 6784 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  B )  =  { f  |  f : B --> B }
25 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  B )  e. 
_V
2624, 25eqeltrri 2354 . . . . . 6  |-  { f  |  f : B --> B }  e.  _V
27 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( f : B -1-1-onto-> B  ->  f : B
--> B )
2827ss2abi 3245 . . . . . 6  |-  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }  C_  { f  |  f : B --> B }
2926, 28ssexi 4159 . . . . 5  |-  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }  e.  _V
30 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )  ->  f : B
-1-1-onto-> B )
3130ss2abi 3245 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  C_  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }
3229, 31ssexi 4159 . . . 4  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  e.  _V
3320, 21, 32fvmpt 5602 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( LAut `  K )  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
342, 33syl5eq 2327 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
351, 34syl 15 1  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   lecple 13215   LAutclaut 30174
This theorem is referenced by:  islaut  30272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-laut 30178
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