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Theorem lautset 30879
Description: The set of lattice automorphisms. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lautset.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautset  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y, B    f, K, x, y    .<_ , f
Allowed substitution hints:    A( x, y, f)    I( x, y, f)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem lautset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 lautset.i . . 3  |-  I  =  ( LAut `  K
)
3 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
4 lautset.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
6 f1oeq2 5666 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( f : ( Base `  k
)
-1-1-onto-> ( Base `  k )  <->  f : B -1-1-onto-> ( Base `  k
) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> ( Base `  k ) ) )
8 f1oeq3 5667 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( f : B -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> B
) )
95, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : B -1-1-onto-> ( Base `  k )  <->  f : B
-1-1-onto-> B ) )
107, 9bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> B
) )
11 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
12 lautset.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
1311, 12syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1413breqd 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
x ( le `  k ) y  <->  x  .<_  y ) )
1513breqd 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( f `  x
) ( le `  k ) ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )
1614, 15bibi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( x ( le
`  k ) y  <-> 
( f `  x
) ( le `  k ) ( f `
 y ) )  <-> 
( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
175, 16raleqbidv 2916 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
185, 17raleqbidv 2916 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. x  e.  ( Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k
) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
1910, 18anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( f : (
Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k )  /\  A. x  e.  ( Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k
) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) )  <->  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) ) )
2019abbidv 2550 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { f  |  ( f : ( Base `  k
)
-1-1-onto-> ( Base `  k )  /\  A. x  e.  (
Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
21 df-laut 30786 . . . 4  |-  LAut  =  ( k  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  /\  A. x  e.  ( Base `  k
) A. y  e.  ( Base `  k
) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) ) } )
22 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  e.  _V
234, 22eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2423, 23mapval 7030 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  B )  =  { f  |  f : B --> B }
25 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  B )  e. 
_V
2624, 25eqeltrri 2507 . . . . . 6  |-  { f  |  f : B --> B }  e.  _V
27 f1of 5674 . . . . . . 7  |-  ( f : B -1-1-onto-> B  ->  f : B
--> B )
2827ss2abi 3415 . . . . . 6  |-  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }  C_  { f  |  f : B --> B }
2926, 28ssexi 4348 . . . . 5  |-  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }  e.  _V
30 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )  ->  f : B
-1-1-onto-> B )
3130ss2abi 3415 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  C_  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }
3229, 31ssexi 4348 . . . 4  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  e.  _V
3320, 21, 32fvmpt 5806 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( LAut `  K )  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
342, 33syl5eq 2480 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
351, 34syl 16 1  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Basecbs 13469   lecple 13536   LAutclaut 30782
This theorem is referenced by:  islaut  30880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-laut 30786
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