Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcoslem1 Structured version   Unicode version

Theorem lawcoslem1 20688
 Description: Lemma for Law of Cosines lawcos 20689. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcoslem1.1
lawcoslem1.2
lawcoslem1.3
lawcoslem1.4
Assertion
Ref Expression
lawcoslem1

Proof of Theorem lawcoslem1
StepHypRef Expression
1 lawcoslem1.1 . . 3
2 lawcoslem1.2 . . 3
3 sqabssub 12119 . . 3
41, 2, 3syl2anc 644 . 2
5 lawcoslem1.4 . . . . . . . . 9
61, 2, 5absdivd 12288 . . . . . . . 8
76oveq2d 6126 . . . . . . 7
87oveq2d 6126 . . . . . 6
91abscld 12269 . . . . . . . . 9
102abscld 12269 . . . . . . . . 9
119, 10remulcld 9147 . . . . . . . 8
1211recnd 9145 . . . . . . 7
131, 2, 5divcld 9821 . . . . . . . . 9
1413recld 12030 . . . . . . . 8
1514recnd 9145 . . . . . . 7
169recnd 9145 . . . . . . . 8
1710recnd 9145 . . . . . . . 8
182, 5absne0d 12280 . . . . . . . 8
1916, 17, 18divcld 9821 . . . . . . 7
20 lawcoslem1.3 . . . . . . . . 9
211, 20absne0d 12280 . . . . . . . 8
2216, 17, 21, 18divne0d 9837 . . . . . . 7
2312, 15, 19, 22div12d 9857 . . . . . 6
248, 23eqtrd 2474 . . . . 5
2512, 16, 17, 21, 18divdiv2d 9853 . . . . . . 7
2617sqvald 11551 . . . . . . . . . 10
2726oveq1d 6125 . . . . . . . . 9
2816, 17, 17mul31d 9308 . . . . . . . . 9
2927, 28eqtr4d 2477 . . . . . . . 8
3029oveq1d 6125 . . . . . . 7
3117sqcld 11552 . . . . . . . 8
3231, 16, 21divcan4d 9827 . . . . . . 7
3325, 30, 323eqtr2rd 2481 . . . . . 6
3433oveq2d 6126 . . . . 5
3515, 31mulcomd 9140 . . . . . . 7
3610resqcld 11580 . . . . . . . 8
3736, 13remul2d 12063 . . . . . . 7
3835, 37eqtr4d 2477 . . . . . 6
391, 31, 2, 5div12d 9857 . . . . . . . 8
4031, 2, 5divrecd 9824 . . . . . . . . . 10
41 recval 12157 . . . . . . . . . . . . 13
422, 5, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
4342oveq2d 6126 . . . . . . . . . . 11
442cjcld 12032 . . . . . . . . . . . 12
45 sqne0 11479 . . . . . . . . . . . . . 14
4617, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4718, 46mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12
4844, 31, 47divcan2d 9823 . . . . . . . . . . 11
4943, 48eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10
5040, 49eqtrd 2474 . . . . . . . . 9
5150oveq2d 6126 . . . . . . . 8
5239, 51eqtr3d 2476 . . . . . . 7
5352fveq2d 5761 . . . . . 6
5438, 53eqtrd 2474 . . . . 5
5524, 34, 543eqtr2rd 2481 . . . 4
5655oveq2d 6126 . . 3
5756oveq2d 6126 . 2
584, 57eqtrd 2474 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026   cmin 9322   cdiv 9708  c2 10080  cexp 11413  ccj 11932  cre 11933  cabs 12070 This theorem is referenced by:  lawcos  20689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072
 Copyright terms: Public domain W3C validator