MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbcl Unicode version

Theorem lbcl 9919
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound that belongs to the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lbcl  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbcl
StepHypRef Expression
1 lbreu 9918 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
2 riotacl 6527 . 2  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S )
31, 2syl 16 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   E!wreu 2672    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   iota_crio 6505   RRcr 8949    <_ cle 9081
This theorem is referenced by:  lbinfm  9921  lbinfmcl  9922
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086
  Copyright terms: Public domain W3C validator