MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbicc2 Unicode version

Theorem lbicc2 10905
Description: The lower bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbicc2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem lbicc2
StepHypRef Expression
1 simp1 956 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
2 xrleid 10636 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
323ad2ant1 977 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  A )
4 simp3 958 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
5 elicc1 10853 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( A [,] B )  <->  ( A  e.  RR*  /\  A  <_  A  /\  A  <_  B
) ) )
653adant3 976 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  e.  ( A [,] B )  <->  ( A  e.  RR*  /\  A  <_  A  /\  A  <_  B
) ) )
71, 3, 4, 6mpbir3and 1136 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 935    e. wcel 1715   class class class wbr 4125  (class class class)co 5981   RR*cxr 9013    <_ cle 9015   [,]cicc 10812
This theorem is referenced by:  icccmplem1  18541  reconnlem2  18546  oprpiece1res1  18664  pcoass  18737  ivthlem1  19026  ivth2  19030  ivthle  19031  ivthle2  19032  evthicc  19034  ovolicc2lem5  19095  dyadmaxlem  19167  rolle  19552  cmvth  19553  mvth  19554  dvlip  19555  c1liplem1  19558  dveq0  19562  dvgt0lem1  19564  lhop1lem  19575  dvcnvrelem1  19579  dvcvx  19582  dvfsumle  19583  dvfsumge  19584  dvfsumabs  19585  dvfsumlem2  19589  ftc2  19606  ftc2ditglem  19607  itgparts  19609  itgsubstlem  19610  taylfval  19953  tayl0  19956  efcvx  20043  pige3  20103  logccv  20232  loglesqr  20320  eliccioo  23581  unitssxrge0  23653  xrge0iifiso  23676  xrge0mulc1cn  23682  esum0  23909  esumpinfval  23928  esummulc1  23936  cvmliftlem6  24424  cvmliftlem8  24426  cvmliftlem9  24427  cvmliftlem10  24428  cvmliftlem13  24430  areacirc  25706  ivthALT  25765  itgsin0pilem1  27250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-icc 10816
  Copyright terms: Public domain W3C validator