MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbinfm Structured version   Unicode version

Theorem lbinfm 9966
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
lbinfm  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbinfm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9161 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5414 . . . 4  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 201 . . 3  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 11 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  `'  <  Or  RR )
5 lbcl 9964 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
6 ssel 3344 . . . 4  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
85, 7mpd 15 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
9 lble 9965 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  z
)
1093expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
z )
118adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
12 ssel2 3345 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1312adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1411, 13lenltd 9224 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1510, 14mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
16 elex 2966 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
175, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
18 vex 2961 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
19 brcnvg 5056 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e. 
_V  /\  z  e.  _V )  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2017, 18, 19sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2120notbid 287 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2221adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2315, 22mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) `'  <  z
)
244, 8, 5, 23supmax 7473 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    Or wor 4505   `'ccnv 4880   iota_crio 6545   supcsup 7448   RRcr 8994    < clt 9125    <_ cle 9126
This theorem is referenced by:  lbinfmcl  9967  lbinfmle  9968  uzinfmi  10560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131
  Copyright terms: Public domain W3C validator