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Theorem lbinfm 9797
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
lbinfm  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbinfm
Dummy variables  w  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 8993 . . . . 5  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5296 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 199 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 10 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  `'  <  Or  RR )
5 lbcl 9795 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
6 ssel 3250 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
85, 7mpd 14 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
9 lble 9796 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  z
)
1093expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
z )
118adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
12 ssel2 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  RR  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1312adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1411, 13lenltd 9055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1510, 14mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
16 elex 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
175, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
18 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 brcnvg 4944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e. 
_V  /\  z  e.  _V )  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2017, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2120notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2315, 22mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) `'  <  z
)
2423ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z )
255a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
) )
2625ancrd 537 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) ) ) )
27 breq2 4108 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( z `'  <  w  <->  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2827rspcev 2960 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w )
2926, 28syl6 29 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )
3029ralrimivw 2703 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. z  e.  RR  ( z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )
31 breq1 4107 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( v `'  <  z  <->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z
) )
3231notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( -.  v `'  <  z  <->  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z ) )
3332ralbidv 2639 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  <->  A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z ) )
34 breq2 4108 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( z `'  <  v  <->  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
3534imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w )  <-> 
( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
3635ralbidv 2639 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w )  <->  A. z  e.  RR  ( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
3733, 36anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )  <->  ( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) ) )
3837rspcev 2960 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR  /\  ( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
398, 24, 30, 38syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
404, 39supval2 7296 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) ) )
414, 39supeu 7295 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
4237riota2 6414 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR  /\  E! v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  ->  (
( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )  <->  ( iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
438, 41, 42syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )  <->  ( iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
4424, 30, 43mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
4540, 44eqtrd 2390 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   E!wreu 2621   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   class class class wbr 4104    Or wor 4395   `'ccnv 4770   iota_crio 6384   supcsup 7283   RRcr 8826    < clt 8957    <_ cle 8958
This theorem is referenced by:  lbinfmcl  9798  lbinfmle  9799  uzinfmi  10389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963
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