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Theorem lbinfm 9707
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
lbinfm  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbinfm
Dummy variables  w  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 8903 . . . . 5  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5214 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 199 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 10 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  `'  <  Or  RR )
5 lbcl 9705 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
6 ssel 3174 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
85, 7mpd 14 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
9 lble 9706 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  z
)
1093expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
z )
118adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
12 ssel2 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  RR  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1312adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1411, 13lenltd 8965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1510, 14mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
16 elex 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
175, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
18 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 brcnvg 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e. 
_V  /\  z  e.  _V )  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2017, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2120notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2315, 22mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) `'  <  z
)
2423ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z )
255a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
) )
2625ancrd 537 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) ) ) )
27 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( z `'  <  w  <->  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2827rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w )
2926, 28syl6 29 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )
3029ralrimivw 2627 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. z  e.  RR  ( z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )
31 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( v `'  <  z  <->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z
) )
3231notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( -.  v `'  <  z  <->  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z ) )
3332ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  <->  A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z ) )
34 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( z `'  <  v  <->  z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
3534imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w )  <-> 
( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
3635ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w )  <->  A. z  e.  RR  ( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
3733, 36anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( v  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )  <->  ( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) ) )
3837rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR  /\  ( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
398, 24, 30, 38syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
404, 39supval2 7206 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) ) )
414, 39supeu 7205 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )
4237riota2 6327 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR  /\  E! v  e.  RR  ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  ->  (
( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )  <->  ( iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
438, 41, 42syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( A. z  e.  S  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) )  <->  ( iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
4424, 30, 43mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ v  e.  RR ( A. z  e.  S  -.  v `'  <  z  /\  A. z  e.  RR  ( z `'  <  v  ->  E. w  e.  S  z `'  <  w ) ) )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
4540, 44eqtrd 2315 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    Or wor 4313   `'ccnv 4688   iota_crio 6297   supcsup 7193   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  lbinfmcl  9708  lbinfmle  9709  uzinfmi  10297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
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