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Theorem lbinfm 9925
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
lbinfm  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbinfm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9120 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5378 . . . 4  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 200 . . 3  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 11 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  `'  <  Or  RR )
5 lbcl 9923 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
6 ssel 3310 . . . 4  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
85, 7mpd 15 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
9 lble 9924 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  z
)
1093expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
z )
118adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
12 ssel2 3311 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1312adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1411, 13lenltd 9183 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1510, 14mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
16 elex 2932 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
175, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
18 vex 2927 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
19 brcnvg 5020 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e. 
_V  /\  z  e.  _V )  ->  ( (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2120notbid 286 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2221adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2315, 22mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
) `'  <  z
)
244, 8, 5, 23supmax 7434 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    Or wor 4470   `'ccnv 4844   iota_crio 6509   supcsup 7411   RRcr 8953    < clt 9084    <_ cle 9085
This theorem is referenced by:  lbinfmcl  9926  lbinfmle  9927  uzinfmi  10519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090
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