Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbinfm Unicode version

Theorem lbinfm 9797
 Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
lbinfm
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem lbinfm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 8993 . . . . 5
2 cnvso 5296 . . . . 5
31, 2mpbi 199 . . . 4
43a1i 10 . . 3
5 lbcl 9795 . . . . 5
6 ssel 3250 . . . . . 6
76adantr 451 . . . . 5
85, 7mpd 14 . . . 4
9 lble 9796 . . . . . . . 8
1093expa 1151 . . . . . . 7
118adantr 451 . . . . . . . 8
12 ssel2 3251 . . . . . . . . 9
1312adantlr 695 . . . . . . . 8
1411, 13lenltd 9055 . . . . . . 7
1510, 14mpbid 201 . . . . . 6
16 elex 2872 . . . . . . . . . 10
175, 16syl 15 . . . . . . . . 9
18 vex 2867 . . . . . . . . 9
19 brcnvg 4944 . . . . . . . . 9
2017, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . 8
2120notbid 285 . . . . . . 7
2221adantr 451 . . . . . 6
2315, 22mpbird 223 . . . . 5
2423ralrimiva 2702 . . . 4
255a1d 22 . . . . . . 7
2625ancrd 537 . . . . . 6
27 breq2 4108 . . . . . . 7
2827rspcev 2960 . . . . . 6
2926, 28syl6 29 . . . . 5
3029ralrimivw 2703 . . . 4
31 breq1 4107 . . . . . . . 8
3231notbid 285 . . . . . . 7
3332ralbidv 2639 . . . . . 6
34 breq2 4108 . . . . . . . 8
3534imbi1d 308 . . . . . . 7
3635ralbidv 2639 . . . . . 6
3733, 36anbi12d 691 . . . . 5
3837rspcev 2960 . . . 4
398, 24, 30, 38syl12anc 1180 . . 3
404, 39supval2 7296 . 2
414, 39supeu 7295 . . . 4
4237riota2 6414 . . . 4
438, 41, 42syl2anc 642 . . 3
4424, 30, 43mpbi2and 887 . 2
4540, 44eqtrd 2390 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  wral 2619  wrex 2620  wreu 2621  cvv 2864   wss 3228   class class class wbr 4104   wor 4395  ccnv 4770  crio 6384  csup 7283  cr 8826   clt 8957   cle 8958 This theorem is referenced by:  lbinfmcl  9798  lbinfmle  9799  uzinfmi  10389 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963
 Copyright terms: Public domain W3C validator