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Theorem lble 9885
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Distinct variable groups:    x, y, S    y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 9883 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
2 nfcv 2516 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
3 nfriota1 6486 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
4 nfcv 2516 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2516 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
63, 4, 5nfbr 4190 . . . . . . 7  |-  F/ x
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
72, 6nfral 2695 . . . . . 6  |-  F/ x A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
8 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
9 nfra1 2692 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y  e.  S  x  <_  y
10 nfcv 2516 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y S
119, 10nfriota 6488 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
1211nfeq2 2527 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
13 breq1 4149 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  y )
)
1412, 13ralbid 2660 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
157, 8, 14riotaprop 6502 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  ->  ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
161, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
)
1716simprd 450 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
18 nfcv 2516 . . . . 5  |-  F/_ y  <_
19 nfcv 2516 . . . . 5  |-  F/_ y A
2011, 18, 19nfbr 4190 . . . 4  |-  F/ y ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
21 breq2 4150 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  <->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  A )
)
2220, 21rspc 2982 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
)
2317, 22mpan9 456 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
24233impa 1148 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   E!wreu 2644    C_ wss 3256   class class class wbr 4146   iota_crio 6471   RRcr 8915    <_ cle 9047
This theorem is referenced by:  lbinfm  9886  lbinfmle  9888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052
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