Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lble Unicode version

Theorem lble 9706
 Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 9704 . . . . 5
2 nfcv 2419 . . . . . . 7
3 nfriota1 6312 . . . . . . . 8
4 nfcv 2419 . . . . . . . 8
5 nfcv 2419 . . . . . . . 8
63, 4, 5nfbr 4067 . . . . . . 7
72, 6nfral 2596 . . . . . 6
8 eqid 2283 . . . . . 6
9 nfra1 2593 . . . . . . . . 9
10 nfcv 2419 . . . . . . . . 9
119, 10nfriota 6314 . . . . . . . 8
1211nfeq2 2430 . . . . . . 7
13 breq1 4026 . . . . . . 7
1412, 13ralbid 2561 . . . . . 6
157, 8, 14riotaprop 6328 . . . . 5
161, 15syl 15 . . . 4
1716simprd 449 . . 3
18 nfcv 2419 . . . . 5
19 nfcv 2419 . . . . 5
2011, 18, 19nfbr 4067 . . . 4
21 breq2 4027 . . . 4
2220, 21rspc 2878 . . 3
2317, 22mpan9 455 . 2
24233impa 1146 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  wreu 2545   wss 3152   class class class wbr 4023  crio 6297  cr 8736   cle 8868 This theorem is referenced by:  lbinfm  9707  lbinfmle  9709 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
 Copyright terms: Public domain W3C validator