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Theorem lble 9953
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Distinct variable groups:    x, y, S    y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 9951 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
2 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
3 nfriota1 6550 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
4 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
63, 4, 5nfbr 4249 . . . . . . 7  |-  F/ x
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
72, 6nfral 2752 . . . . . 6  |-  F/ x A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
8 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
9 nfra1 2749 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y  e.  S  x  <_  y
10 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y S
119, 10nfriota 6552 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
1211nfeq2 2583 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )
13 breq1 4208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  y )
)
1412, 13ralbid 2716 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
157, 8, 14riotaprop 6566 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  ->  ( ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
161, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
)
1716simprd 450 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
18 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ y  <_
19 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ y A
2011, 18, 19nfbr 4249 . . . 4  |-  F/ y ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
21 breq2 4209 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  <->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  A )
)
2220, 21rspc 3039 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
)
2317, 22mpan9 456 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
24233impa 1148 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   E.wrex 2699   E!wreu 2700    C_ wss 3313   class class class wbr 4205   iota_crio 6535   RRcr 8982    <_ cle 9114
This theorem is referenced by:  lbinfm  9954  lbinfmle  9956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-riota 6542  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119
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