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Theorem lbreu 9958
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  w ) )
21rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  ->  x  <_  w ) )
3 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
w  <_  y  <->  w  <_  x ) )
43rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  w  <_  y  ->  w  <_  x ) )
52, 4im2anan9r 810 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  ( x  <_  w  /\  w  <_  x ) ) )
6 ssel 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  RR ) )
7 ssel 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR ) )
86, 7anim12d 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR ) ) )
98impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  S  C_  RR )  ->  ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR ) )
10 letri3 9160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  =  w  <-> 
( x  <_  w  /\  w  <_  x ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  S  C_  RR )  ->  ( x  =  w  <->  ( x  <_  w  /\  w  <_  x
) ) )
1211exbiri 606 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( S  C_  RR  ->  ( ( x  <_  w  /\  w  <_  x
)  ->  x  =  w ) ) )
1312com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( x  <_  w  /\  w  <_  x
)  ->  ( S  C_  RR  ->  x  =  w ) ) )
145, 13syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  ( S  C_  RR  ->  x  =  w ) ) )
1514com3r 75 . . . . 5  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  x  =  w ) ) )
1615ralrimivv 2797 . . . 4  |-  ( S 
C_  RR  ->  A. x  e.  S  A. w  e.  S  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w ) )
1716anim2i 553 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  S  C_  RR )  ->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  (
( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w )
) )
1817ancoms 440 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  (
( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w )
) )
19 breq1 4215 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  w  <_  y ) )
2019ralbidv 2725 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  w  <_  y ) )
2120reu4 3128 . 2  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  <->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w ) ) )
2218, 21sylibr 204 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   RRcr 8989    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  lbcl  9959  lble  9960  uzwo2  10541  uzinfmi  10555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
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