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Theorem lbreu 9704
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  w ) )
21rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  ->  x  <_  w ) )
3 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
w  <_  y  <->  w  <_  x ) )
43rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  w  <_  y  ->  w  <_  x ) )
52, 4im2anan9r 809 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  ( x  <_  w  /\  w  <_  x ) ) )
6 ssel 3174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  RR ) )
7 ssel 3174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR ) )
86, 7anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR ) ) )
98impcom 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  S  C_  RR )  ->  ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR ) )
10 letri3 8907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  =  w  <-> 
( x  <_  w  /\  w  <_  x ) ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  S  C_  RR )  ->  ( x  =  w  <->  ( x  <_  w  /\  w  <_  x
) ) )
1211exbiri 605 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( S  C_  RR  ->  ( ( x  <_  w  /\  w  <_  x
)  ->  x  =  w ) ) )
1312com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( x  <_  w  /\  w  <_  x
)  ->  ( S  C_  RR  ->  x  =  w ) ) )
145, 13syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  ( S  C_  RR  ->  x  =  w ) ) )
1514com3r 73 . . . . 5  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  x  =  w ) ) )
1615ralrimivv 2634 . . . 4  |-  ( S 
C_  RR  ->  A. x  e.  S  A. w  e.  S  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w ) )
1716anim2i 552 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  S  C_  RR )  ->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  (
( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w )
) )
1817ancoms 439 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  (
( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w )
) )
19 breq1 4026 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  w  <_  y ) )
2019ralbidv 2563 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  w  <_  y ) )
2120reu4 2959 . 2  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  <->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w ) ) )
2218, 21sylibr 203 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   RRcr 8736    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  lbcl  9705  lble  9706  uzwo2  10283  uzinfmi  10297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
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