MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsacsbs Unicode version

Theorem lbsacsbs 15925
Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 15923. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsacsbs.1  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
lbsacsbs.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
lbsacsbs.3  |-  X  =  ( Base `  W
)
lbsacsbs.4  |-  I  =  (mrInd `  A )
lbsacsbs.5  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsacsbs  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  e.  I  /\  ( N `  S )  =  X ) ) )

Proof of Theorem lbsacsbs
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsacsbs.3 . . 3  |-  X  =  ( Base `  W
)
2 lbsacsbs.5 . . 3  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
41, 2, 3islbs2 15923 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  C_  X  /\  ( (
LSpan `  W ) `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
5 lveclmod 15875 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
6 lbsacsbs.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
7 lbsacsbs.2 . . . . . . 7  |-  N  =  (mrCls `  A )
86, 3, 7mrclsp 15762 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
95, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
109fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( (
LSpan `  W ) `  S )  =  ( N `  S ) )
1110eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( ( LSpan `  W ) `  S )  =  X  <-> 
( N `  S
)  =  X ) )
129fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( (
LSpan `  W ) `  ( S  \  { x } ) )  =  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
1312eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( x  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( S  \  { x }
) )  <->  x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) ) ) )
1413notbid 285 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( -.  x  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( S  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) )
1514ralbidv 2576 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A. x  e.  S  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( S  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) )
1611, 153anbi23d 1255 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( S  C_  X  /\  ( ( LSpan `  W
) `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( S  \  { x } ) ) )  <->  ( S  C_  X  /\  ( N `
 S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) ) )
171, 6lssmre 15739 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
18 lbsacsbs.4 . . . . . 6  |-  I  =  (mrInd `  A )
197, 18ismri 13549 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  ( S  e.  I  <->  ( S  C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) ) )
205, 17, 193syl 18 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  I  <->  ( S  C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) ) )
2120anbi1d 685 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( S  e.  I  /\  ( N `  S )  =  X )  <->  ( ( S  C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  /\  ( N `
 S )  =  X ) ) )
22 3anan32 946 . . 3  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( N `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  <->  ( ( S 
C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  /\  ( N `
 S )  =  X ) )
2321, 22syl6rbbr 255 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( S  C_  X  /\  ( N `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  <->  ( S  e.  I  /\  ( N `
 S )  =  X ) ) )
244, 16, 233bitrd 270 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  e.  I  /\  ( N `  S )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271   Basecbs 13164  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  mrIndcmri 13502   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744  LBasisclbs 15843   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  lvecdim  15926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-mri 13506  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lbs 15844  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator