MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsacsbs Unicode version

Theorem lbsacsbs 15909
Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 15907. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsacsbs.1  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
lbsacsbs.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
lbsacsbs.3  |-  X  =  ( Base `  W
)
lbsacsbs.4  |-  I  =  (mrInd `  A )
lbsacsbs.5  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsacsbs  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  e.  I  /\  ( N `  S )  =  X ) ) )

Proof of Theorem lbsacsbs
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsacsbs.3 . . 3  |-  X  =  ( Base `  W
)
2 lbsacsbs.5 . . 3  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
41, 2, 3islbs2 15907 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  C_  X  /\  ( (
LSpan `  W ) `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
5 lveclmod 15859 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
6 lbsacsbs.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( LSubSp `  W )
7 lbsacsbs.2 . . . . . . 7  |-  N  =  (mrCls `  A )
86, 3, 7mrclsp 15746 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
95, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( LSpan `  W )  =  N )
109fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( (
LSpan `  W ) `  S )  =  ( N `  S ) )
1110eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( ( LSpan `  W ) `  S )  =  X  <-> 
( N `  S
)  =  X ) )
129fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( (
LSpan `  W ) `  ( S  \  { x } ) )  =  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
1312eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( x  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( S  \  { x }
) )  <->  x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) ) ) )
1413notbid 285 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( -.  x  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( S  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) )
1514ralbidv 2563 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( A. x  e.  S  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( S  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) )
1611, 153anbi23d 1255 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( S  C_  X  /\  ( ( LSpan `  W
) `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( S  \  { x } ) ) )  <->  ( S  C_  X  /\  ( N `
 S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) ) )
171, 6lssmre 15723 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
18 lbsacsbs.4 . . . . . 6  |-  I  =  (mrInd `  A )
197, 18ismri 13533 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  ( S  e.  I  <->  ( S  C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) ) )
205, 17, 193syl 18 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  I  <->  ( S  C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) ) )
2120anbi1d 685 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( S  e.  I  /\  ( N `  S )  =  X )  <->  ( ( S  C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  /\  ( N `
 S )  =  X ) ) )
22 3anan32 946 . . 3  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( N `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  <->  ( ( S 
C_  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  /\  ( N `
 S )  =  X ) )
2321, 22syl6rbbr 255 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( S  C_  X  /\  ( N `  S )  =  X  /\  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )  <->  ( S  e.  I  /\  ( N `
 S )  =  X ) ) )
244, 16, 233bitrd 270 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  e.  I  /\  ( N `  S )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255   Basecbs 13148  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  mrIndcmri 13486   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LBasisclbs 15827   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lvecdim  15910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-mri 13490  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lbs 15828  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator