MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsexg Unicode version

Theorem lbsexg 15917
Description: Every vector space has a basis. This theorem is an AC equivalent; this is the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lbsex.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsexg  |-  ( (CHOICE  /\  W  e.  LVec )  ->  J  =/=  (/) )

Proof of Theorem lbsexg
Dummy variables  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LVec )
2 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
32pwex 4193 . . . 4  |-  ~P ( Base `  W )  e. 
_V
4 dfac10 7763 . . . . 5  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
54biimpi 186 . . . 4  |-  (CHOICE  ->  dom  card 
=  _V )
63, 5syl5eleqr 2370 . . 3  |-  (CHOICE  ->  ~P ( Base `  W )  e.  dom  card )
7 0ss 3483 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  W )
8 ral0 3558 . . . 4  |-  A. x  e.  (/)  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( (/)  \  {
x } ) )
9 lbsex.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
129, 10, 11lbsextg 15915 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P ( Base `  W
)  e.  dom  card )  /\  (/)  C_  ( Base `  W )  /\  A. x  e.  (/)  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( (/)  \  {
x } ) ) )  ->  E. s  e.  J  (/)  C_  s
)
137, 8, 12mp3an23 1269 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ~P ( Base `  W )  e.  dom  card )  ->  E. s  e.  J  (/)  C_  s
)
141, 6, 13syl2anr 464 . 2  |-  ( (CHOICE  /\  W  e.  LVec )  ->  E. s  e.  J  (/)  C_  s )
15 rexn0 3556 . 2  |-  ( E. s  e.  J  (/)  C_  s  ->  J  =/=  (/) )
1614, 15syl 15 1  |-  ( (CHOICE  /\  W  e.  LVec )  ->  J  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   dom cdm 4689   ` cfv 5255   cardccrd 7568  CHOICEwac 7742   Basecbs 13148   LSpanclspn 15728  LBasisclbs 15827   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lbsex  15918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-ac 7743  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lbs 15828  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator