MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsext Unicode version

Theorem lbsext 16015
Description: For any linearly independent subset  C of  V, there is a basis containing the vectors in 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsex.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsex.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsext  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, s, C    J, s    N, s, x    V, s    W, s, x
Allowed substitution hints:    J( x)    V( x)

Proof of Theorem lbsext
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5622 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2428 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
43pwex 4274 . . . 4  |-  ~P V  e.  _V
5 numth3 8187 . . . 4  |-  ( ~P V  e.  _V  ->  ~P V  e.  dom  card )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ~P V  e.  dom  card
76jctr 526 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LVec  /\  ~P V  e.  dom  card ) )
8 lbsex.j . . 3  |-  J  =  (LBasis `  W )
9 lbsex.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
108, 1, 9lbsextg 16014 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
117, 10syl3an1 1215 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716   dom cdm 4771   ` cfv 5337   cardccrd 7658   Basecbs 13245   LSpanclspn 15827  LBasisclbs 15926   LVecclvec 15954
This theorem is referenced by:  islinds4  26628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-ac2 8179  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-rpss 6364  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-card 7662  df-ac 7833  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lbs 15927  df-lvec 15955
  Copyright terms: Public domain W3C validator