MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsext Unicode version

Theorem lbsext 16194
Description: For any linearly independent subset  C of  V, there is a basis containing the vectors in 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsex.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsex.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsext  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, s, C    J, s    N, s, x    V, s    W, s, x
Allowed substitution hints:    J( x)    V( x)

Proof of Theorem lbsext
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5705 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2478 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
43pwex 4346 . . . 4  |-  ~P V  e.  _V
5 numth3 8310 . . . 4  |-  ( ~P V  e.  _V  ->  ~P V  e.  dom  card )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ~P V  e.  dom  card
76jctr 527 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LVec  /\  ~P V  e.  dom  card ) )
8 lbsex.j . . 3  |-  J  =  (LBasis `  W )
9 lbsex.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
108, 1, 9lbsextg 16193 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
117, 10syl3an1 1217 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   {csn 3778   dom cdm 4841   ` cfv 5417   cardccrd 7782   Basecbs 13428   LSpanclspn 16006  LBasisclbs 16105   LVecclvec 16133
This theorem is referenced by:  islinds4  27177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-ac2 8303  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-rpss 6485  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-card 7786  df-ac 7957  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lbs 16106  df-lvec 16134
  Copyright terms: Public domain W3C validator