MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextg Unicode version

Theorem lbsextg 15964
Description: For any linearly independent subset  C of  V, there is a basis containing the vectors in 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsex.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsex.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsextg  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, s, C    J, s    N, s, x    V, s    W, s, x
Allowed substitution hints:    J( x)    V( x)

Proof of Theorem lbsextg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . 2  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lbsex.j . 2  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 lbsex.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 simp1l 979 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  W  e.  LVec )
5 simp2 956 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  C  C_  V )
6 simp3 957 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
7 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
8 sneq 3685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
98difeq2d 3328 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( C  \  { x }
)  =  ( C 
\  { y } ) )
109fveq2d 5567 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  ( C  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( C  \  { y } ) ) )
117, 10eleq12d 2384 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( N `
 ( C  \  { x } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( C 
\  { y } ) ) ) )
1211notbid 285 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) )  <->  -.  y  e.  ( N `  ( C 
\  { y } ) ) ) )
1312cbvralv 2798 . . 3  |-  ( A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  {
x } ) )  <->  A. y  e.  C  -.  y  e.  ( N `  ( C  \  { y } ) ) )
146, 13sylib 188 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  A. y  e.  C  -.  y  e.  ( N `  ( C  \  { y } ) ) )
158difeq2d 3328 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  \  { x } )  =  ( z  \  { y } ) )
1615fveq2d 5567 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( z  \  { y } ) ) )
177, 16eleq12d 2384 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( z 
\  { y } ) ) ) )
1817notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  y  e.  ( N `  ( z 
\  { y } ) ) ) )
1918cbvralv 2798 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  {
x } ) )  <->  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `  ( z  \  { y } ) ) )
2019anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) ) )  <->  ( C  C_  z  /\  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `  (
z  \  { y } ) ) ) )
2120a1i 10 . . 3  |-  ( z  e.  ~P V  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  <-> 
( C  C_  z  /\  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `  ( z 
\  { y } ) ) ) ) )
2221rabbiia 2812 . 2  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) }  =  { z  e. 
~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `
 ( z  \  { y } ) ) ) }
23 simp1r 980 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  ~P V  e.  dom  card )
241, 2, 3, 4, 5, 14, 22, 23lbsextlem4 15963 1  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581    \ cdif 3183    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   {csn 3674   dom cdm 4726   ` cfv 5292   cardccrd 7613   Basecbs 13195   LSpanclspn 15777  LBasisclbs 15876   LVecclvec 15904
This theorem is referenced by:  lbsext  15965  lbsexg  15966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-rpss 6319  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lbs 15877  df-lvec 15905
  Copyright terms: Public domain W3C validator