MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextg Structured version   Unicode version

Theorem lbsextg 16236
Description: For any linearly independent subset  C of  V, there is a basis containing the vectors in 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsex.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsex.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsextg  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, s, C    J, s    N, s, x    V, s    W, s, x
Allowed substitution hints:    J( x)    V( x)

Proof of Theorem lbsextg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . 2  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lbsex.j . 2  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 lbsex.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 simp1l 982 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  W  e.  LVec )
5 simp2 959 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  C  C_  V )
6 simp3 960 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
7 id 21 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
8 sneq 3827 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
98difeq2d 3467 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( C  \  { x }
)  =  ( C 
\  { y } ) )
109fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  ( C  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( C  \  { y } ) ) )
117, 10eleq12d 2506 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( N `
 ( C  \  { x } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( C 
\  { y } ) ) ) )
1211notbid 287 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) )  <->  -.  y  e.  ( N `  ( C 
\  { y } ) ) ) )
1312cbvralv 2934 . . 3  |-  ( A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  {
x } ) )  <->  A. y  e.  C  -.  y  e.  ( N `  ( C  \  { y } ) ) )
146, 13sylib 190 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  A. y  e.  C  -.  y  e.  ( N `  ( C  \  { y } ) ) )
158difeq2d 3467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  \  { x } )  =  ( z  \  { y } ) )
1615fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( z  \  { y } ) ) )
177, 16eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( z 
\  { y } ) ) ) )
1817notbid 287 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  y  e.  ( N `  ( z 
\  { y } ) ) ) )
1918cbvralv 2934 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  {
x } ) )  <->  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `  ( z  \  { y } ) ) )
2019anbi2i 677 . . . 4  |-  ( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) ) )  <->  ( C  C_  z  /\  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `  (
z  \  { y } ) ) ) )
2120a1i 11 . . 3  |-  ( z  e.  ~P V  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  <-> 
( C  C_  z  /\  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `  ( z 
\  { y } ) ) ) ) )
2221rabbiia 2948 . 2  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) }  =  { z  e. 
~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. y  e.  z  -.  y  e.  ( N `
 ( z  \  { y } ) ) ) }
23 simp1r 983 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  ~P V  e.  dom  card )
241, 2, 3, 4, 5, 14, 22, 23lbsextlem4 16235 1  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   dom cdm 4880   ` cfv 5456   cardccrd 7824   Basecbs 13471   LSpanclspn 16049  LBasisclbs 16148   LVecclvec 16176
This theorem is referenced by:  lbsext  16237  lbsexg  16238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lbs 16149  df-lvec 16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator