Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lbsextlem2 16262
 Description: Lemma for lbsext 16266. Since is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union of the spans of each individual element of is a subspace, and it contains all of (except for our target vector - we are trying to make a linear combination of all the other vectors in some set from ). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v
lbsext.j LBasis
lbsext.n
lbsext.w
lbsext.c
lbsext.x
lbsext.s
lbsext.p
lbsext.a
lbsext.z
lbsext.r []
lbsext.t
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   (,,)   (,)   ()

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2443 . . 3 Scalar Scalar
2 eqidd 2443 . . 3 Scalar Scalar
3 lbsext.v . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 eqidd 2443 . . 3
6 eqidd 2443 . . 3
7 lbsext.p . . . 4
87a1i 11 . . 3
9 lbsext.t . . . 4
10 lbsext.w . . . . . . . . 9
11 lveclmod 16209 . . . . . . . . 9
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8
1312adantr 453 . . . . . . 7
14 lbsext.a . . . . . . . . . . 11
15 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12
16 ssrab2 3414 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16eqsstri 3364 . . . . . . . . . . 11
1814, 17syl6ss 3346 . . . . . . . . . 10
1918sselda 3334 . . . . . . . . 9
2019elpwid 3832 . . . . . . . 8
2120ssdifssd 3471 . . . . . . 7
22 lbsext.n . . . . . . . 8
233, 22lspssv 16090 . . . . . . 7
2413, 21, 23syl2anc 644 . . . . . 6
2524ralrimiva 2795 . . . . 5
26 iunss 4156 . . . . 5
2725, 26sylibr 205 . . . 4
289, 27syl5eqss 3378 . . 3
299a1i 11 . . . 4
30 lbsext.z . . . . . 6
313, 7, 22lspcl 16083 . . . . . . . . 9
3213, 21, 31syl2anc 644 . . . . . . . 8
337lssn0 16048 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
3534ralrimiva 2795 . . . . . 6
36 r19.2z 3741 . . . . . 6
3730, 35, 36syl2anc 644 . . . . 5
38 iunn0 4175 . . . . 5
3937, 38sylib 190 . . . 4
4029, 39eqnetrd 2625 . . 3
419eleq2i 2506 . . . . . . . . 9
42 eliun 4121 . . . . . . . . 9
43 difeq1 3444 . . . . . . . . . . . 12
4443fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11
4544eleq2d 2509 . . . . . . . . . 10
4645cbvrexv 2939 . . . . . . . . 9
4741, 42, 463bitri 264 . . . . . . . 8
489eleq2i 2506 . . . . . . . . 9
49 eliun 4121 . . . . . . . . 9
50 difeq1 3444 . . . . . . . . . . . 12
5150fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11
5251eleq2d 2509 . . . . . . . . . 10
5352cbvrexv 2939 . . . . . . . . 9
5448, 49, 533bitri 264 . . . . . . . 8
5547, 54anbi12i 680 . . . . . . 7
56 reeanv 2881 . . . . . . 7
5755, 56bitr4i 245 . . . . . 6
58 simp1l 982 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
59 lbsext.r . . . . . . . . . . . . 13 []
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Scalar []
61 simp2 959 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
62 sorpssun 6558 . . . . . . . . . . . 12 []
6360, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 Scalar
6458, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
65 elssuni 4067 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
67 sspwuni 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6818, 67sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6958, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
7066, 69sstrd 3344 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
7170ssdifssd 3471 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
723, 7, 22lspcl 16083 . . . . . . . . . . . . 13
7364, 71, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
74 simp1r 983 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
75 ssun1 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 ssdif 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15
7775, 76mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
783, 22lspss 16091 . . . . . . . . . . . . . 14
7964, 71, 77, 78syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
80 simp3l 986 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
8179, 80sseldd 3335 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
82 ssun2 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 ssdif 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
853, 22lspss 16091 . . . . . . . . . . . . . 14
8664, 71, 84, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
87 simp3r 987 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
8886, 87sseldd 3335 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
89 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
90 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
91 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13
92 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13
9389, 90, 91, 92, 7lsscl 16050 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
9473, 74, 81, 88, 93syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11 Scalar
95 difeq1 3444 . . . . . . . . . . . . . 14
9695fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . 13
9796eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . 12
9897rspcev 3058 . . . . . . . . . . 11
9963, 94, 98syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 Scalar
100 eliun 4121 . . . . . . . . . 10
10199, 100sylibr 205 . . . . . . . . 9 Scalar
102101, 9syl6eleqr 2533 . . . . . . . 8 Scalar
1031023expia 1156 . . . . . . 7 Scalar
104103rexlimdvva 2843 . . . . . 6 Scalar
10557, 104syl5bi 210 . . . . 5 Scalar
106105exp4b 592 . . . 4 Scalar
1071063imp2 1169 . . 3 Scalar
1081, 2, 4, 5, 6, 8, 28, 40, 107islssd 16043 . 2
109 eldifi 3455 . . . . . . 7
110109adantl 454 . . . . . 6
111 eldifn 3456 . . . . . . . . . 10
112111ad2antlr 709 . . . . . . . . 9
113 eldif 3316 . . . . . . . . . 10
1143, 22lspssid 16092 . . . . . . . . . . . . 13
11513, 21, 114syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
116115adantlr 697 . . . . . . . . . . 11
117116sseld 3333 . . . . . . . . . 10
118113, 117syl5bir 211 . . . . . . . . 9
119112, 118mpan2d 657 . . . . . . . 8
120119reximdva 2824 . . . . . . 7
121 eluni2 4043 . . . . . . 7
122 eliun 4121 . . . . . . 7
123120, 121, 1223imtr4g 263 . . . . . 6
124110, 123mpd 15 . . . . 5
125124ex 425 . . . 4
126125ssrdv 3340 . . 3
127126, 9syl6sseqr 3381 . 2
128108, 127jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  wral 2711  wrex 2712  crab 2715   cdif 3303   cun 3304   wss 3306  c0 3613  cpw 3823  csn 3838  cuni 4039  ciun 4117   wor 4531  cfv 5483  (class class class)co 6110   [] crpss 6550  cbs 13500   cplusg 13560  Scalarcsca 13563  cvsca 13564  clmod 15981  clss 16039  clspn 16078  LBasisclbs 16177  clvec 16205 This theorem is referenced by:  lbsextlem3  16263 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-rpss 6551  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206
 Copyright terms: Public domain W3C validator