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Theorem lbsextlem2 15912
Description: Lemma for lbsext 15916. Since  A is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union  T of the spans of each individual element of 
A is a subspace, and it contains all of  U. A (except for our target vector  x- we are trying to make  x a linear combination of all the other vectors in some set from  A). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.p  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
lbsext.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
lbsext.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
lbsext.r  |-  ( ph  -> [ C.]  Or  A )
lbsext.t  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  P  /\  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, u, ph    u, S, x   
x, z, C    z, u, N, x    u, V, x, z    u, W, x    u, A, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( u)    P( x, z, u)    S( z)    T( x, z, u)    J( z, u)    W( z)

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables  m  n  r  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
)
2 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  =  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3 lbsext.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
43a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
5 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  W
)  =  ( +g  `  W ) )
6 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .s `  W
)  =  ( .s
`  W ) )
7 lbsext.p . . . 4  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
87a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( LSubSp `  W ) )
9 lbsext.t . . . 4  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
10 lbsext.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lveclmod 15859 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
1312adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
14 difss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( u 
\  { x }
)  C_  u
15 lbsext.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
16 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
17 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
1816, 17eqsstri 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ~P V
1915, 18syl6ss 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ~P V
)
2019sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  ~P V )
21 elpwi 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ~P V  ->  u  C_  V )
2220, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  u  C_  V )
2314, 22syl5ss 3190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
u  \  { x } )  C_  V
)
24 lbsext.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
253, 24lspssv 15740 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
u  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) 
C_  V )
2613, 23, 25syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  C_  V )
2726ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  C_  V
)
28 iunss 3943 . . . . 5  |-  ( U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  C_  V  <->  A. u  e.  A  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) 
C_  V )
2927, 28sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  C_  V
)
309, 29syl5eqss 3222 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
319a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
32 lbsext.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
333, 7, 24lspcl 15733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
u  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( u  \  {
x } ) )  e.  P )
3413, 23, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  e.  P )
357lssn0 15698 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( u 
\  { x }
) )  e.  P  ->  ( N `  (
u  \  { x } ) )  =/=  (/) )
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =/=  (/) )
3736ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
38 r19.2z 3543 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
3932, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
40 iunn0 3962 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/)  <->  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =/=  (/) )
4139, 40sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
4231, 41eqnetrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
439eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  T  <->  v  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
44 eliun 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  v  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
45 difeq1 3287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
u  \  { x } )  =  ( m  \  { x } ) )
4645fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  m  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( m  \  { x } ) ) )
4746eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  m  ->  (
v  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) )  <->  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) ) )
4847cbvrexv 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  A  v  e.  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) )
4943, 44, 483bitri 262 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  T  <->  E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) )
509eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  T  <->  w  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
51 eliun 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  w  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
52 difeq1 3287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  n  ->  (
u  \  { x } )  =  ( n  \  { x } ) )
5352fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  n  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( n  \  { x } ) ) )
5453eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  n  ->  (
w  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) )  <->  w  e.  ( N `  ( n  \  { x } ) ) ) )
5554cbvrexv 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  A  w  e.  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) )
5650, 51, 553bitri 262 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  T  <->  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) )
5749, 56anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  T  /\  w  e.  T )  <->  ( E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m  \  {
x } ) )  /\  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) ) )
58 reeanv 2707 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  A  E. n  e.  A  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) )  <-> 
( E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) )  /\  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )
5957, 58bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  T  /\  w  e.  T )  <->  E. m  e.  A  E. n  e.  A  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )
60 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ph )
61 lbsext.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> [ C.]  Or  A )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  -> [ C.]  Or  A
)
63 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  e.  A  /\  n  e.  A ) )
64 sorpssun 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A
) )  ->  (
m  u.  n )  e.  A )
6562, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  u.  n )  e.  A
)
6660, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
67 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
)  C_  ( m  u.  n )
68 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  u.  n )  e.  A  ->  (
m  u.  n ) 
C_  U. A )
6965, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  u.  n )  C_  U. A
)
70 sspwuni 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  ~P V  <->  U. A  C_  V )
7119, 70sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U. A  C_  V
)
7260, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  U. A  C_  V )
7369, 72sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  u.  n )  C_  V
)
7467, 73syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
m  u.  n ) 
\  { x }
)  C_  V )
753, 7, 24lspcl 15733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( m  u.  n
)  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  e.  P )
7666, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  e.  P )
77 simp1r 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
78 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  m  C_  ( m  u.  n
)
79 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m 
C_  ( m  u.  n )  ->  (
m  \  { x } )  C_  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) )
8078, 79mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  \  { x } ) 
C_  ( ( m  u.  n )  \  { x } ) )
813, 24lspss 15741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( m  u.  n
)  \  { x } )  C_  V  /\  ( m  \  {
x } )  C_  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  ->  ( N `  ( m  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
8266, 74, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  ( m  \  {
x } ) ) 
C_  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) ) )
83 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) )
8482, 83sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  v  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
85 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  n  C_  ( m  u.  n
)
86 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n 
C_  ( m  u.  n )  ->  (
n  \  { x } )  C_  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) )
8785, 86mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( n  \  { x } ) 
C_  ( ( m  u.  n )  \  { x } ) )
883, 24lspss 15741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( m  u.  n
)  \  { x } )  C_  V  /\  ( n  \  {
x } )  C_  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  ->  ( N `  ( n  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
8966, 74, 87, 88syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  ( n  \  {
x } ) ) 
C_  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) ) )
90 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) )
9189, 90sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
92 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
93 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
94 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
95 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
9692, 93, 94, 95, 7lsscl 15700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) )  e.  P  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  v  e.  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  /\  w  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) ) )  ->  ( ( r ( .s `  W
) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
9776, 77, 84, 91, 96syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) ) )
98 difeq1 3287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( m  u.  n )  ->  (
u  \  { x } )  =  ( ( m  u.  n
)  \  { x } ) )
9998fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( m  u.  n )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( ( m  u.  n )  \  { x } ) ) )
10099eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( m  u.  n )  ->  (
( ( r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) ) ) )
101100rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  A  /\  ( ( r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
u  \  { x } ) ) )
10265, 97, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
u  \  { x } ) ) )
103 eliun 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r ( .s
`  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e. 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  <->  E. u  e.  A  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
u  \  { x } ) ) )
104102, 103sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e. 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
105104, 9syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T )
1061053expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A ) )  -> 
( ( v  e.  ( N `  (
m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  ( n  \  {
x } ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T ) )
107106rexlimdvva 2674 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( E. m  e.  A  E. n  e.  A  ( v  e.  ( N `  (
m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  ( n  \  {
x } ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T ) )
10859, 107syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( ( v  e.  T  /\  w  e.  T )  ->  (
( r ( .s
`  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T ) )
109108exp4b 590 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( r  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  ->  (
v  e.  T  -> 
( w  e.  T  ->  ( ( r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  T ) ) ) )
1101093imp2 1166 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  v  e.  T  /\  w  e.  T )
)  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T )
1111, 2, 4, 5, 6, 8, 30, 42, 110islssd 15693 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
112 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( U. A  \  { x } )  ->  y  e.  U. A )
113112adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  y  e.  U. A )
114 eldifn 3299 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( U. A  \  { x } )  ->  -.  y  e.  { x } )
115114ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  -.  y  e.  { x } )
116 eldif 3162 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  \  { x } )  <-> 
( y  e.  u  /\  -.  y  e.  {
x } ) )
1173, 24lspssid 15742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
u  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( u  \  { x } ) 
C_  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
11813, 23, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
u  \  { x } )  C_  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
119118adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  \  { x } )  C_  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
120119sseld 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
y  e.  ( u 
\  { x }
)  ->  y  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) ) )
121116, 120syl5bir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
( y  e.  u  /\  -.  y  e.  {
x } )  -> 
y  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) ) ) )
122115, 121mpan2d 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
y  e.  u  -> 
y  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) ) ) )
123122reximdva 2655 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  ( E. u  e.  A  y  e.  u  ->  E. u  e.  A  y  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) ) )
124 eluni2 3831 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. u  e.  A  y  e.  u )
125 eliun 3909 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  y  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
126123, 124, 1253imtr4g 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  ( y  e. 
U. A  ->  y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) ) )
127113, 126mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
128127ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( U. A  \  {
x } )  -> 
y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) ) )
129128ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. A  \  { x } ) 
C_  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
130129, 9syl6sseqr 3225 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T )
131111, 130jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( T  e.  P  /\  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905    Or wor 4313   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   [ C.] crpss 6276   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LBasisclbs 15827   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lbsextlem3  15913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
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