Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem2 Unicode version

Theorem lbsextlem2 15928
 Description: Lemma for lbsext 15932. Since is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union of the spans of each individual element of is a subspace, and it contains all of (except for our target vector - we are trying to make a linear combination of all the other vectors in some set from ). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v
lbsext.j LBasis
lbsext.n
lbsext.w
lbsext.c
lbsext.x
lbsext.s
lbsext.p
lbsext.a
lbsext.z
lbsext.r []
lbsext.t
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   (,,)   (,)   ()

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2297 . . 3 Scalar Scalar
2 eqidd 2297 . . 3 Scalar Scalar
3 lbsext.v . . . 4
43a1i 10 . . 3
5 eqidd 2297 . . 3
6 eqidd 2297 . . 3
7 lbsext.p . . . 4
87a1i 10 . . 3
9 lbsext.t . . . 4
10 lbsext.w . . . . . . . . 9
11 lveclmod 15875 . . . . . . . . 9
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8
1312adantr 451 . . . . . . 7
14 difss 3316 . . . . . . . 8
15 lbsext.a . . . . . . . . . . 11
16 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12
17 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17eqsstri 3221 . . . . . . . . . . 11
1915, 18syl6ss 3204 . . . . . . . . . 10
2019sselda 3193 . . . . . . . . 9
21 elpwi 3646 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 15 . . . . . . . 8
2314, 22syl5ss 3203 . . . . . . 7
24 lbsext.n . . . . . . . 8
253, 24lspssv 15756 . . . . . . 7
2613, 23, 25syl2anc 642 . . . . . 6
2726ralrimiva 2639 . . . . 5
28 iunss 3959 . . . . 5
2927, 28sylibr 203 . . . 4
309, 29syl5eqss 3235 . . 3
319a1i 10 . . . 4
32 lbsext.z . . . . . 6
333, 7, 24lspcl 15749 . . . . . . . . 9
3413, 23, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8
357lssn0 15714 . . . . . . . 8
3634, 35syl 15 . . . . . . 7
3736ralrimiva 2639 . . . . . 6
38 r19.2z 3556 . . . . . 6
3932, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5
40 iunn0 3978 . . . . 5
4139, 40sylib 188 . . . 4
4231, 41eqnetrd 2477 . . 3
439eleq2i 2360 . . . . . . . . 9
44 eliun 3925 . . . . . . . . 9
45 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . 12
4645fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11
4746eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10
4847cbvrexv 2778 . . . . . . . . 9
4943, 44, 483bitri 262 . . . . . . . 8
509eleq2i 2360 . . . . . . . . 9
51 eliun 3925 . . . . . . . . 9
52 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . 12
5352fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11
5453eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10
5554cbvrexv 2778 . . . . . . . . 9
5650, 51, 553bitri 262 . . . . . . . 8
5749, 56anbi12i 678 . . . . . . 7
58 reeanv 2720 . . . . . . 7
5957, 58bitr4i 243 . . . . . 6
60 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
61 lbsext.r . . . . . . . . . . . . 13 []
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Scalar []
63 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
64 sorpssun 6300 . . . . . . . . . . . 12 []
6562, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 Scalar
6660, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
67 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14
68 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6965, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
70 sspwuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7119, 70sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7260, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
7369, 72sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
7467, 73syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
753, 7, 24lspcl 15749 . . . . . . . . . . . . 13
7666, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
77 simp1r 980 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
78 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
813, 24lspss 15757 . . . . . . . . . . . . . 14
8266, 74, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
83 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
8482, 83sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
85 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
883, 24lspss 15757 . . . . . . . . . . . . . 14
8966, 74, 87, 88syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
90 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
9189, 90sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
92 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
93 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
94 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
95 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
9692, 93, 94, 95, 7lsscl 15716 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
9776, 77, 84, 91, 96syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11 Scalar
98 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . . . 14
9998fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
10099eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . 12
101100rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11
10265, 97, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 Scalar
103 eliun 3925 . . . . . . . . . 10
104102, 103sylibr 203 . . . . . . . . 9 Scalar
105104, 9syl6eleqr 2387 . . . . . . . 8 Scalar
1061053expia 1153 . . . . . . 7 Scalar
107106rexlimdvva 2687 . . . . . 6 Scalar
10859, 107syl5bi 208 . . . . 5 Scalar
109108exp4b 590 . . . 4 Scalar
1101093imp2 1166 . . 3 Scalar
1111, 2, 4, 5, 6, 8, 30, 42, 110islssd 15709 . 2
112 eldifi 3311 . . . . . . 7
113112adantl 452 . . . . . 6
114 eldifn 3312 . . . . . . . . . 10
115114ad2antlr 707 . . . . . . . . 9
116 eldif 3175 . . . . . . . . . 10
1173, 24lspssid 15758 . . . . . . . . . . . . 13
11813, 23, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
119118adantlr 695 . . . . . . . . . . 11
120119sseld 3192 . . . . . . . . . 10
121116, 120syl5bir 209 . . . . . . . . 9
122115, 121mpan2d 655 . . . . . . . 8
123122reximdva 2668 . . . . . . 7
124 eluni2 3847 . . . . . . 7
125 eliun 3925 . . . . . . 7
126123, 124, 1253imtr4g 261 . . . . . 6
127113, 126mpd 14 . . . . 5
128127ex 423 . . . 4
129128ssrdv 3198 . . 3
130129, 9syl6sseqr 3238 . 2
131111, 130jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  csn 3653  cuni 3843  ciun 3921   wor 4329  cfv 5271  (class class class)co 5874   [] crpss 6292  cbs 13164   cplusg 13224  Scalarcsca 13227  cvsca 13228  clmod 15643  clss 15705  clspn 15744  LBasisclbs 15843  clvec 15871 This theorem is referenced by:  lbsextlem3  15929 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
 Copyright terms: Public domain W3C validator