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Theorem lbsextlem3 15962
Description: Lemma for lbsext 15965. A chain in  S has an upper bound in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.p  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
lbsext.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
lbsext.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
lbsext.r  |-  ( ph  -> [ C.]  Or  A )
lbsext.t  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3  |-  ( ph  ->  U. A  e.  S
)
Distinct variable groups:    x, J    x, u, ph    u, S, x   
x, z, C    z, u, N, x    u, V, x, z    u, W, x    u, A, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( u)    P( x, z, u)    S( z)    T( x, z, u)    J( z, u)    W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
2 lbsext.s . . . . . 6  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
3 ssrab2 3292 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
42, 3eqsstri 3242 . . . . 5  |-  S  C_  ~P V
51, 4syl6ss 3225 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ~P V
)
6 sspwuni 4024 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P V  <->  U. A  C_  V )
75, 6sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  U. A  C_  V
)
8 lbsext.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 fvex 5577 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
108, 9eqeltri 2386 . . . 4  |-  V  e. 
_V
1110elpw2 4212 . . 3  |-  ( U. A  e.  ~P V  <->  U. A  C_  V )
127, 11sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  U. A  e.  ~P V )
13 ssintub 3917 . . . . 5  |-  C  C_  |^|
{ z  e.  ~P V  |  C  C_  z }
14 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) ) )  ->  C  C_  z )
1514a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P V  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  ->  C  C_  z
) )
1615ss2rabi 3289 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }
172, 16eqsstri 3242 . . . . . . 7  |-  S  C_  { z  e.  ~P V  |  C  C_  z }
181, 17syl6ss 3225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  { z  e.  ~P V  |  C  C_  z } )
19 intss 3920 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }  ->  |^| { z  e.  ~P V  |  C  C_  z }  C_  |^| A )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  |^| { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }  C_  |^| A
)
2113, 20syl5ss 3224 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  |^| A )
22 lbsext.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
23 intssuni 3921 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  |^| A  C_  U. A
)
2521, 24sstrd 3223 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
26 eluni2 3868 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  x  e.  y )
27 simpll1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  ph )
28 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
29 lveclmod 15908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3127, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  W  e.  LMod )
32 difss 3337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
)  C_  ( y  u.  u )
3327, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  A  C_  S )
34 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> [ C.]  Or  A )
3527, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> [ C.]  Or  A )
36 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
y  e.  A )
37 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  u  e.  A )
38 sorpssun 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( y  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
y  u.  u )  e.  A )
3935, 36, 37, 38syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  A )
4033, 39sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  S )
414, 40sseldi 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  ~P V
)
42 elpwi 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  u.  u )  e.  ~P V  -> 
( y  u.  u
)  C_  V )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  C_  V )
4432, 43syl5ss 3224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( ( y  u.  u )  \  {
x } )  C_  V )
45 ssun2 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( y  u.  u
)
46 ssdif 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u 
C_  ( y  u.  u )  ->  (
u  \  { x } )  C_  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) )
4745, 46mp1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( u  \  {
x } )  C_  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) )
48 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( LSpan `  W )
498, 48lspss 15790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  u.  u
)  \  { x } )  C_  V  /\  ( u  \  {
x } )  C_  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
5031, 44, 47, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( N `  (
u  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
51 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
5250, 51sseldd 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) ) )
53 sseq2 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( C  C_  z  <->  C  C_  (
y  u.  u ) ) )
54 difeq1 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
z  \  { x } )  =  ( ( y  u.  u
)  \  { x } ) )
5554fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( ( y  u.  u )  \  { x } ) ) )
5655eleq2d 2383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( (
y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5756notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5857raleqbi1dv 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5953, 58anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) )  <->  ( C  C_  ( y  u.  u
)  /\  A. x  e.  ( y  u.  u
)  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) ) ) )
6059, 2elrab2 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  <->  ( (
y  u.  u )  e.  ~P V  /\  ( C  C_  ( y  u.  u )  /\  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( y  u.  u )  \  { x } ) ) ) ) )
6160simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  ->  ( C  C_  ( y  u.  u )  /\  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) ) )
6261simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  ->  A. x  e.  ( y  u.  u
)  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) )
6340, 62syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  (
y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
64 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  y )
65 elun1 3376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  u.  u
) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( y  u.  u ) )
67 rsp 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) )  -> 
( x  e.  ( y  u.  u )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
6863, 66, 67sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( (
y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
6952, 68pm2.65da 559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
7069nrexdv 2680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  -.  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
71 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  J  =  (LBasis `  W )
72 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
73 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
74 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
75 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
768, 71, 48, 28, 72, 73, 2, 74, 1, 22, 34, 75lbsextlem2 15961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T  e.  P  /\  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T ) )
7776simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
788, 74lssss 15743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  P  ->  T  C_  V )
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
8076simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T )
818, 48lspss 15790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  ( U. A  \  { x }
)  C_  T )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  ( N `  T ) )
8230, 79, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  ( N `  T ) )
8374, 48lspid 15788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  P )  ->  ( N `  T )  =  T )
8430, 77, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  T
)  =  T )
8582, 84sseqtrd 3248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  T )
86853ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  T )
8786, 75syl6sseq 3258 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
8887sseld 3213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  ->  x  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) ) )
89 eliun 3946 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
9088, 89syl6ib 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  ->  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) ) )
9170, 90mtod 168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) )
9291rexlimdv3a 2703 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9326, 92syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9493ralrimiv 2659 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) )
9525, 94jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
96 sseq2 3234 . . . 4  |-  ( z  =  U. A  -> 
( C  C_  z  <->  C 
C_  U. A ) )
97 difeq1 3321 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  U. A  -> 
( z  \  {
x } )  =  ( U. A  \  { x } ) )
9897fveq2d 5567 . . . . . . 7  |-  ( z  =  U. A  -> 
( N `  (
z  \  { x } ) )  =  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) )
9998eleq2d 2383 . . . . . 6  |-  ( z  =  U. A  -> 
( x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) )  <->  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
10099notbid 285 . . . . 5  |-  ( z  =  U. A  -> 
( -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) ) )
101100raleqbi1dv 2778 . . . 4  |-  ( z  =  U. A  -> 
( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) ) )
10296, 101anbi12d 691 . . 3  |-  ( z  =  U. A  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  <-> 
( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) ) )
103102, 2elrab2 2959 . 2  |-  ( U. A  e.  S  <->  ( U. A  e.  ~P V  /\  ( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) ) )
10412, 95, 103sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  U. A  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    u. cun 3184    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   {csn 3674   U.cuni 3864   |^|cint 3899   U_ciun 3942    Or wor 4350   ` cfv 5292   [ C.] crpss 6318   Basecbs 13195   LModclmod 15676   LSubSpclss 15738   LSpanclspn 15777  LBasisclbs 15876   LVecclvec 15904
This theorem is referenced by:  lbsextlem4  15963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-rpss 6319  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905
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