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Theorem lbsextlem3 16232
Description: Lemma for lbsext 16235. A chain in  S has an upper bound in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.p  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
lbsext.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
lbsext.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
lbsext.r  |-  ( ph  -> [ C.]  Or  A )
lbsext.t  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3  |-  ( ph  ->  U. A  e.  S
)
Distinct variable groups:    x, J    x, u, ph    u, S, x   
x, z, C    z, u, N, x    u, V, x, z    u, W, x    u, A, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( u)    P( x, z, u)    S( z)    T( x, z, u)    J( z, u)    W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
2 lbsext.s . . . . . 6  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
3 ssrab2 3428 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
42, 3eqsstri 3378 . . . . 5  |-  S  C_  ~P V
51, 4syl6ss 3360 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ~P V
)
6 sspwuni 4176 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P V  <->  U. A  C_  V )
75, 6sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  U. A  C_  V
)
8 lbsext.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
108, 9eqeltri 2506 . . . 4  |-  V  e. 
_V
1110elpw2 4364 . . 3  |-  ( U. A  e.  ~P V  <->  U. A  C_  V )
127, 11sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  U. A  e.  ~P V )
13 ssintub 4068 . . . . 5  |-  C  C_  |^|
{ z  e.  ~P V  |  C  C_  z }
14 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) ) )  ->  C  C_  z )
1514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P V  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  ->  C  C_  z
) )
1615ss2rabi 3425 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }
172, 16eqsstri 3378 . . . . . . 7  |-  S  C_  { z  e.  ~P V  |  C  C_  z }
181, 17syl6ss 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  { z  e.  ~P V  |  C  C_  z } )
19 intss 4071 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }  ->  |^| { z  e.  ~P V  |  C  C_  z }  C_  |^| A )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  |^| { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }  C_  |^| A
)
2113, 20syl5ss 3359 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  |^| A )
22 lbsext.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
23 intssuni 4072 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  |^| A  C_  U. A
)
2521, 24sstrd 3358 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
26 eluni2 4019 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  x  e.  y )
27 simpll1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  ph )
28 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
29 lveclmod 16178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  W  e.  LMod )
3227, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  A  C_  S )
33 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> [ C.]  Or  A )
3427, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> [ C.]  Or  A )
35 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
y  e.  A )
36 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  u  e.  A )
37 sorpssun 6529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( y  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
y  u.  u )  e.  A )
3834, 35, 36, 37syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  A )
3932, 38sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  S )
404, 39sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  ~P V
)
4140elpwid 3808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  C_  V )
4241ssdifssd 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( ( y  u.  u )  \  {
x } )  C_  V )
43 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( y  u.  u
)
44 ssdif 3482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u 
C_  ( y  u.  u )  ->  (
u  \  { x } )  C_  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) )
4543, 44mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( u  \  {
x } )  C_  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) )
46 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( LSpan `  W )
478, 46lspss 16060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  u.  u
)  \  { x } )  C_  V  /\  ( u  \  {
x } )  C_  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
4831, 42, 45, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( N `  (
u  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
49 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
5048, 49sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) ) )
51 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( C  C_  z  <->  C  C_  (
y  u.  u ) ) )
52 difeq1 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
z  \  { x } )  =  ( ( y  u.  u
)  \  { x } ) )
5352fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( ( y  u.  u )  \  { x } ) ) )
5453eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( (
y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5554notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5655raleqbi1dv 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5751, 56anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) )  <->  ( C  C_  ( y  u.  u
)  /\  A. x  e.  ( y  u.  u
)  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) ) ) )
5857, 2elrab2 3094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  <->  ( (
y  u.  u )  e.  ~P V  /\  ( C  C_  ( y  u.  u )  /\  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( y  u.  u )  \  { x } ) ) ) ) )
5958simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  ->  ( C  C_  ( y  u.  u )  /\  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) ) )
6059simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  ->  A. x  e.  ( y  u.  u
)  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) )
6139, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  (
y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
62 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  y )
63 elun1 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  u.  u
) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( y  u.  u ) )
65 rsp 2766 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) )  -> 
( x  e.  ( y  u.  u )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
6661, 64, 65sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( (
y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
6750, 66pm2.65da 560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
6867nrexdv 2809 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  -.  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
69 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  J  =  (LBasis `  W )
70 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
71 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
72 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
73 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
748, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73lbsextlem2 16231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T  e.  P  /\  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T ) )
7574simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
768, 72lssss 16013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  P  ->  T  C_  V )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
7874simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T )
798, 46lspss 16060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  ( U. A  \  { x }
)  C_  T )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  ( N `  T ) )
8030, 77, 78, 79syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  ( N `  T ) )
8172, 46lspid 16058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  P )  ->  ( N `  T )  =  T )
8230, 75, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  T
)  =  T )
8380, 82sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  T )
84833ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  T )
8584, 73syl6sseq 3394 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
8685sseld 3347 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  ->  x  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) ) )
87 eliun 4097 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
8886, 87syl6ib 218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  ->  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) ) )
8968, 88mtod 170 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) )
9089rexlimdv3a 2832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9126, 90syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9291ralrimiv 2788 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) )
9325, 92jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
94 sseq2 3370 . . . 4  |-  ( z  =  U. A  -> 
( C  C_  z  <->  C 
C_  U. A ) )
95 difeq1 3458 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  U. A  -> 
( z  \  {
x } )  =  ( U. A  \  { x } ) )
9695fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( z  =  U. A  -> 
( N `  (
z  \  { x } ) )  =  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) )
9796eleq2d 2503 . . . . . 6  |-  ( z  =  U. A  -> 
( x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) )  <->  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9897notbid 286 . . . . 5  |-  ( z  =  U. A  -> 
( -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) ) )
9998raleqbi1dv 2912 . . . 4  |-  ( z  =  U. A  -> 
( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) ) )
10094, 99anbi12d 692 . . 3  |-  ( z  =  U. A  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  <-> 
( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) ) )
101100, 2elrab2 3094 . 2  |-  ( U. A  e.  S  <->  ( U. A  e.  ~P V  /\  ( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) ) )
10212, 93, 101sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  U. A  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   |^|cint 4050   U_ciun 4093    Or wor 4502   ` cfv 5454   [ C.] crpss 6521   Basecbs 13469   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LSpanclspn 16047  LBasisclbs 16146   LVecclvec 16174
This theorem is referenced by:  lbsextlem4  16233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-rpss 6522  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175
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