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Theorem lbsextlem4 16235
Description: Lemma for lbsext 16237. lbsextlem3 16234 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 8389 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending  C. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.k  |-  ( ph  ->  ~P V  e.  dom  card )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4  |-  ( ph  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, J    ph, x, s    S, s, x    x, z, C   
x, N, z    x, V, z    x, W    z,
s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( s)    S( z)    J( z, s)    N( s)    V( s)    W( z, s)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables  u  w  y  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P V  e.  dom  card )
2 lbsext.s . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
3 ssrab2 3430 . . . . 5  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
42, 3eqsstri 3380 . . . 4  |-  S  C_  ~P V
5 ssnum 7922 . . . 4  |-  ( ( ~P V  e.  dom  card  /\  S  C_  ~P V
)  ->  S  e.  dom  card )
61, 4, 5sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  card )
7 lbsext.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lbsext.j . . . 4  |-  J  =  (LBasis `  W )
9 lbsext.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
10 lbsext.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lbsext.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
12 lbsext.x . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 12, 2lbsextlem1 16232 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
1410adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  W  e.  LVec )
1511adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  C  C_  V )
1612adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )
17 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
18 simpr1 964 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  y  C_  S )
19 simpr2 965 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  y  =/=  (/) )
20 simpr3 966 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  -> [ C.]  Or  y )
21 eqid 2438 . . . . . 6  |-  U_ u  e.  y  ( N `  ( u  \  {
x } ) )  =  U_ u  e.  y  ( N `  ( u  \  { x } ) )
227, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21lbsextlem3 16234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  U. y  e.  S )
2322ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  U. y  e.  S ) )
2423alrimiv 1642 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y ( ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )
25 zornn0g 8387 . . 3  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y ( ( y 
C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )  ->  E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
266, 13, 24, 25syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
27 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  S )
28 sseq2 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  s  ->  ( C  C_  z  <->  C  C_  s
) )
29 difeq1 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  s  ->  (
z  \  { x } )  =  ( s  \  { x } ) )
3029fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  s  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) )
3130eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  s  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( s  \  { x } ) ) ) )
3231notbid 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  s  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
3332raleqbi1dv 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  s  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
3428, 33anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  s  ->  (
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) )  <->  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
3534, 2elrab2 3096 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  S  <->  ( s  e.  ~P V  /\  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) ) ) ) )
3627, 35sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  ~P V  /\  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
3736simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  ~P V
)
3837elpwid 3810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  C_  V )
39 lveclmod 16180 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
4010, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4140adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  W  e.  LMod )
427, 9lspssv 16061 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  ( N `  s )  C_  V )
4341, 38, 42syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  s
)  C_  V )
44 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  C_  ( s  u.  {
w } )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  ( s  u.  {
w } ) )
46 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w }  C_  ( s  u. 
{ w } )
47 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
4847snid 3843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
{ w }
4946, 48sselii 3347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e.  ( s  u.  {
w } )
507, 9lspssid 16063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  s  C_  ( N `  s
) )
5141, 38, 50syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  C_  ( N `  s ) )
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  ( N `  s ) )
53 eldifn 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( V  \ 
( N `  s
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  s ) )
5453adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  s
) )
5552, 54ssneldd 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  s )
56 nelne1 2695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( s  u.  { w }
)  /\  -.  w  e.  s )  ->  (
s  u.  { w } )  =/=  s
)
5749, 55, 56sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  =/=  s )
5857necomd 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  =/=  ( s  u.  {
w } ) )
59 df-pss 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C.  ( s  u. 
{ w } )  <-> 
( s  C_  (
s  u.  { w } )  /\  s  =/=  ( s  u.  {
w } ) ) )
6045, 58, 59sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C.  ( s  u.  {
w } ) )
6138adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  V )
62 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( V  \ 
( N `  s
) )  ->  w  e.  V )
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  w  e.  V )
6463snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  { w }  C_  V )
6561, 64unssd 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } ) 
C_  V )
66 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  W )  e.  _V
677, 66eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
6867elpw2 4366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ~P V 
<->  ( s  u.  {
w } )  C_  V )
6965, 68sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  e.  ~P V )
7036simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
7170simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  C  C_  s )
7271adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  C  C_  s
)
7372, 44syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  C  C_  (
s  u.  { w } ) )
7410ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7538adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  s  C_  V
)
7675ssdifssd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  V )
7763adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  V
)
78 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) )
79 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  s )
8055adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  w  e.  s )
81 nelne2 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  s  /\  -.  w  e.  s
)  ->  x  =/=  w )
8279, 80, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  =/=  w
)
83 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  { w }  ->  x  =  w )
8483necon3ai 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =/=  w  ->  -.  x  e.  { w } )
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  x  e.  { w } )
86 disjsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { w }  i^i  { x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  {
w } )
8785, 86sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( { w }  i^i  { x }
)  =  (/) )
88 disj3 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { w }  i^i  { x } )  =  (/) 
<->  { w }  =  ( { w }  \  { x } ) )
8987, 88sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  { w }  =  ( { w }  \  { x }
) )
9089uneq2d 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s 
\  { x }
)  u.  { w } )  =  ( ( s  \  {
x } )  u.  ( { w }  \  { x } ) ) )
91 difundir 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } )  =  ( ( s  \  { x } )  u.  ( { w }  \  { x }
) )
9290, 91syl6reqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } )  =  ( ( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )
9392fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) )  =  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
w } ) ) )
9478, 93eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
w } ) ) )
9570simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
9695adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
97 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) )  ->  ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) )
9896, 79, 97sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
9994, 98eldifd 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( N `  (
( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )  \  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) ) )
1007, 17, 9lspsolv 16217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
( s  \  {
x } )  C_  V  /\  w  e.  V  /\  x  e.  (
( N `  (
( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )  \  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
10174, 76, 77, 99, 100syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
102 undif1 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( s  u.  {
x } )
10379snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  { x }  C_  s )
104 ssequn2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { x }  C_  s  <->  ( s  u.  { x } )  =  s )
105103, 104sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( s  u. 
{ x } )  =  s )
106102, 105syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  s )
107106fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  ( N `  s ) )
108101, 107eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  s ) )
109108expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( (
x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )  ->  w  e.  ( N `  s ) ) )
11054, 109mtod 171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  (
x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) ) )
111 imnan 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) )  <->  -.  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
112110, 111sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
113112ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) )
114 difssd 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  \  {
w } )  C_  s )
1157, 9lspss 16062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V  /\  ( s 
\  { w }
)  C_  s )  ->  ( N `  (
s  \  { w } ) )  C_  ( N `  s ) )
11641, 38, 114, 115syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  (
s  \  { w } ) )  C_  ( N `  s ) )
117116adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( N `  ( s  \  {
w } ) ) 
C_  ( N `  s ) )
118117, 54ssneldd 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  (
s  \  { w } ) ) )
119 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  x  =  w )
120 sneq 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  { x }  =  { w } )
121120difeq2d 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } )  =  ( ( s  u.  { w }
)  \  { w } ) )
122 difun2 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  u.  { w } )  \  {
w } )  =  ( s  \  {
w } )
123121, 122syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } )  =  ( s  \  { w } ) )
124123fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  =  ( N `  ( s  \  {
w } ) ) )
125119, 124eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) )  <->  w  e.  ( N `  ( s 
\  { w }
) ) ) )
126125notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  <->  -.  w  e.  ( N `  ( s  \  { w } ) ) ) )
12747, 126ralsn 3851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  { w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  <->  -.  w  e.  ( N `  ( s  \  { w } ) ) )
128118, 127sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  { w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )
129 ralun 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  /\  A. x  e. 
{ w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  (
s  u.  { w } )  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) )
130113, 128, 129syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) )
13173, 130jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( C  C_  ( s  u.  {
w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  { w }
)  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
132 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( C  C_  z 
<->  C  C_  ( s  u.  { w } ) ) )
133 difeq1 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( z  \  { x } )  =  ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) )
134133fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( N `  ( z  \  {
x } ) )  =  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )
135134eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) ) )
136135notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
137136raleqbi1dv 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) ) )
138132, 137anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( ( C 
C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  {
x } ) ) )  <->  ( C  C_  ( s  u.  {
w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  { w }
)  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )
139138, 2elrab2 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  S  <->  ( ( s  u.  {
w } )  e. 
~P V  /\  ( C  C_  ( s  u. 
{ w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) ) ) )
14069, 131, 139sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  e.  S )
141 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
142 psseq2 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( s  C.  t 
<->  s  C.  ( s  u.  { w }
) ) )
143142notbid 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( -.  s  C.  t  <->  -.  s  C.  ( s  u.  {
w } ) ) )
144143rspcv 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  S  ->  ( A. t  e.  S  -.  s  C.  t  ->  -.  s  C.  ( s  u.  {
w } ) ) )
145140, 141, 144sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  s  C.  ( s  u.  {
w } ) )
14660, 145pm2.65da 561 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  -.  w  e.  ( V  \  ( N `  s ) ) )
147146eq0rdv 3664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( V  \  ( N `  s )
)  =  (/) )
148 ssdif0 3688 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  ( N `  s )  <->  ( V  \  ( N `  s
) )  =  (/) )
149147, 148sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  V  C_  ( N `  s ) )
15043, 149eqssd 3367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  s
)  =  V )
15110adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  W  e.  LVec )
1527, 8, 9islbs2 16228 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( s  e.  J  <->  ( s  C_  V  /\  ( N `
 s )  =  V  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
153151, 152syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  J  <->  ( s  C_  V  /\  ( N `  s )  =  V  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) ) ) ) )
15438, 150, 95, 153mpbir3and 1138 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  J )
155154, 71jca 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  J  /\  C  C_  s ) )
156155ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )  ->  (
s  e.  J  /\  C  C_  s ) ) )
157156reximdv2 2817 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t  ->  E. s  e.  J  C  C_  s ) )
15826, 157mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   U_ciun 4095    Or wor 4504   dom cdm 4880   ` cfv 5456   [ C.] crpss 6523   cardccrd 7824   Basecbs 13471   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049  LBasisclbs 16148   LVecclvec 16176
This theorem is referenced by:  lbsextg  16236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lbs 16149  df-lvec 16177
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