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Theorem lbsextlem4 15930
 Description: Lemma for lbsext 15932. lbsextlem3 15929 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 8150 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending . Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v
lbsext.j LBasis
lbsext.n
lbsext.w
lbsext.c
lbsext.x
lbsext.s
lbsext.k
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4
2 lbsext.s . . . . 5
3 ssrab2 3271 . . . . 5
42, 3eqsstri 3221 . . . 4
5 ssnum 7682 . . . 4
61, 4, 5sylancl 643 . . 3
7 lbsext.v . . . 4
8 lbsext.j . . . 4 LBasis
9 lbsext.n . . . 4
10 lbsext.w . . . 4
11 lbsext.c . . . 4
12 lbsext.x . . . 4
137, 8, 9, 10, 11, 12, 2lbsextlem1 15927 . . 3
1410adantr 451 . . . . . 6 []
1511adantr 451 . . . . . 6 []
1612adantr 451 . . . . . 6 []
17 eqid 2296 . . . . . 6
18 simpr1 961 . . . . . 6 []
19 simpr2 962 . . . . . 6 []
20 simpr3 963 . . . . . 6 [] []
21 eqid 2296 . . . . . 6
227, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21lbsextlem3 15929 . . . . 5 []
2322ex 423 . . . 4 []
2423alrimiv 1621 . . 3 []
25 zornn0g 8148 . . 3 []
266, 13, 24, 25syl3anc 1182 . 2
27 simprl 732 . . . . . . . . 9
28 sseq2 3213 . . . . . . . . . . 11
29 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14
3130eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13
3231notbid 285 . . . . . . . . . . . 12
3332raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . . 11
3428, 33anbi12d 691 . . . . . . . . . 10
3534, 2elrab2 2938 . . . . . . . . 9
3627, 35sylib 188 . . . . . . . 8
3736simpld 445 . . . . . . 7
38 elpwi 3646 . . . . . . 7
3937, 38syl 15 . . . . . 6
40 lveclmod 15875 . . . . . . . . . 10
4110, 40syl 15 . . . . . . . . 9
4241adantr 451 . . . . . . . 8
437, 9lspssv 15756 . . . . . . . 8
4442, 39, 43syl2anc 642 . . . . . . 7
45 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . 12
4645a1i 10 . . . . . . . . . . 11
47 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . 14
48 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948snid 3680 . . . . . . . . . . . . . 14
5047, 49sselii 3190 . . . . . . . . . . . . 13
51 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
537, 9lspssid 15758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5442, 39, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . 14
5752, 56mtod 168 . . . . . . . . . . . . 13
58 nelne1 2548 . . . . . . . . . . . . 13
5950, 57, 58sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
6059necomd 2542 . . . . . . . . . . 11
61 df-pss 3181 . . . . . . . . . . 11
6246, 60, 61sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10
6339adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
64 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . 14
6763, 66unssd 3364 . . . . . . . . . . . . 13
68 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15
697, 68eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . 14
7069elpw2 4191 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 70sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
7236simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
7574, 45syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . 13
7610ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7839adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7977, 78syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8065adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
82 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8357adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
84 nelne2 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8582, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
86 elsni 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8786necon3ai 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8885, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
89 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9088, 89sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
91 disj3 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9290, 91sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9392uneq2d 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
94 difundir 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9593, 94syl6reqr 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9695fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9781, 96eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9872simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9998adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
100 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10199, 82, 100sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10397, 101, 102sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1047, 17, 9lspsolv 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10576, 79, 80, 103, 104syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 undif1 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10782snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
108 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109107, 108sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
110106, 109syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111110fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112105, 111eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113112expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11452, 113mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116114, 115sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . . . . 14
118 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1207, 9lspss 15757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12142, 39, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12452, 123mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127126difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128 difun2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129127, 128syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130129fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131125, 130eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132131notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13348, 132ralsn 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15
134124, 133sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14
135 ralun 3370 . . . . . . . . . . . . . 14
136117, 134, 135syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
13775, 136jca 518 . . . . . . . . . . . 12
138 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . 14
139 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140139fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141140eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142141notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . . . . . 14
144138, 143anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
145144, 2elrab2 2938 . . . . . . . . . . . 12
14671, 137, 145sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11
147 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11
148 psseq2 3277 . . . . . . . . . . . . 13
149148notbid 285 . . . . . . . . . . . 12
150149rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11
151146, 147, 150sylc 56 . . . . . . . . . 10
15262, 151pm2.65da 559 . . . . . . . . 9
153152eq0rdv 3502 . . . . . . . 8
154 ssdif0 3526 . . . . . . . 8
155153, 154sylibr 203 . . . . . . 7
15644, 155eqssd 3209 . . . . . 6
15710adantr 451 . . . . . . 7
1587, 8, 9islbs2 15923 . . . . . . 7
159157, 158syl 15 . . . . . 6
16039, 156, 98, 159mpbir3and 1135 . . . . 5
161160, 73jca 518 . . . 4
162161ex 423 . . 3
163162reximdv2 2665 . 2
16426, 163mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1530   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165   wpss 3166  c0 3468  cpw 3638  csn 3653  cuni 3843  ciun 3921   wor 4329   cdm 4705  cfv 5271   [] crpss 6292  ccrd 7584  cbs 13164  clmod 15643  clss 15705  clspn 15744  LBasisclbs 15843  clvec 15871 This theorem is referenced by:  lbsextg  15931 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lbs 15844  df-lvec 15872
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