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Theorem lbsextlem4 16235
 Description: Lemma for lbsext 16237. lbsextlem3 16234 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 8389 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending . Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v
lbsext.j LBasis
lbsext.n
lbsext.w
lbsext.c
lbsext.x
lbsext.s
lbsext.k
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4
2 lbsext.s . . . . 5
3 ssrab2 3430 . . . . 5
42, 3eqsstri 3380 . . . 4
5 ssnum 7922 . . . 4
61, 4, 5sylancl 645 . . 3
7 lbsext.v . . . 4
8 lbsext.j . . . 4 LBasis
9 lbsext.n . . . 4
10 lbsext.w . . . 4
11 lbsext.c . . . 4
12 lbsext.x . . . 4
137, 8, 9, 10, 11, 12, 2lbsextlem1 16232 . . 3
1410adantr 453 . . . . . 6 []
1511adantr 453 . . . . . 6 []
1612adantr 453 . . . . . 6 []
17 eqid 2438 . . . . . 6
18 simpr1 964 . . . . . 6 []
19 simpr2 965 . . . . . 6 []
20 simpr3 966 . . . . . 6 [] []
21 eqid 2438 . . . . . 6
227, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21lbsextlem3 16234 . . . . 5 []
2322ex 425 . . . 4 []
2423alrimiv 1642 . . 3 []
25 zornn0g 8387 . . 3 []
266, 13, 24, 25syl3anc 1185 . 2
27 simprl 734 . . . . . . . . 9
28 sseq2 3372 . . . . . . . . . . 11
29 difeq1 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14
3130eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13
3231notbid 287 . . . . . . . . . . . 12
3332raleqbi1dv 2914 . . . . . . . . . . 11
3428, 33anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
3534, 2elrab2 3096 . . . . . . . . 9
3627, 35sylib 190 . . . . . . . 8
3736simpld 447 . . . . . . 7
3837elpwid 3810 . . . . . 6
39 lveclmod 16180 . . . . . . . . . 10
4010, 39syl 16 . . . . . . . . 9
4140adantr 453 . . . . . . . 8
427, 9lspssv 16061 . . . . . . . 8
4341, 38, 42syl2anc 644 . . . . . . 7
44 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . 12
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11
46 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . 14
47 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847snid 3843 . . . . . . . . . . . . . 14
4946, 48sselii 3347 . . . . . . . . . . . . 13
507, 9lspssid 16063 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5141, 38, 50syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
53 eldifn 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
5552, 54ssneldd 3353 . . . . . . . . . . . . 13
56 nelne1 2695 . . . . . . . . . . . . 13
5749, 55, 56sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
5857necomd 2689 . . . . . . . . . . 11
59 df-pss 3338 . . . . . . . . . . 11
6045, 58, 59sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10
6138adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
62 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
6561, 64unssd 3525 . . . . . . . . . . . . 13
66 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15
677, 66eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . 14
6867elpw2 4366 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 68sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12
7036simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
7372, 44syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . 13
7410ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7538adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7675ssdifssd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7763adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
79 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8055adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
81 nelne2 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8279, 80, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
83 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8483necon3ai 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
86 disjsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8785, 86sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
88 disj3 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8987, 88sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9089uneq2d 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
91 difundir 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9290, 91syl6reqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9392fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9478, 93eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9570simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9695adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
97 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9896, 79, 97sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9994, 98eldifd 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1007, 17, 9lspsolv 16217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10174, 76, 77, 99, 100syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 undif1 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10379snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104 ssequn2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105103, 104sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106102, 105syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107106fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108101, 107eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11054, 109mtod 171 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 imnan 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112110, 111sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . . . . 14
114 difssd 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1157, 9lspss 16062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11641, 38, 114, 115syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117116adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117, 54ssneldd 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 sneq 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120difeq2d 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122 difun2 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123121, 122syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125119, 124eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126125notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12747, 126ralsn 3851 . . . . . . . . . . . . . . 15
128118, 127sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14
129 ralun 3531 . . . . . . . . . . . . . 14
130113, 128, 129syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
13173, 130jca 520 . . . . . . . . . . . 12
132 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . 14
133 difeq1 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134133fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . 15
137136raleqbi1dv 2914 . . . . . . . . . . . . . 14
138132, 137anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13
139138, 2elrab2 3096 . . . . . . . . . . . 12
14069, 131, 139sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11
141 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11
142 psseq2 3437 . . . . . . . . . . . . 13
143142notbid 287 . . . . . . . . . . . 12
144143rspcv 3050 . . . . . . . . . . 11
145140, 141, 144sylc 59 . . . . . . . . . 10
14660, 145pm2.65da 561 . . . . . . . . 9
147146eq0rdv 3664 . . . . . . . 8
148 ssdif0 3688 . . . . . . . 8
149147, 148sylibr 205 . . . . . . 7
15043, 149eqssd 3367 . . . . . 6
15110adantr 453 . . . . . . 7
1527, 8, 9islbs2 16228 . . . . . . 7
153151, 152syl 16 . . . . . 6
15438, 150, 95, 153mpbir3and 1138 . . . . 5
155154, 71jca 520 . . . 4
156155ex 425 . . 3
157156reximdv2 2817 . 2
15826, 157mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cdif 3319   cun 3320   cin 3321   wss 3322   wpss 3323  c0 3630  cpw 3801  csn 3816  cuni 4017  ciun 4095   wor 4504   cdm 4880  cfv 5456   [] crpss 6523  ccrd 7824  cbs 13471  clmod 15952  clss 16010  clspn 16049  LBasisclbs 16148  clvec 16176 This theorem is referenced by:  lbsextg  16236 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lbs 16149  df-lvec 16177
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