Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsind Structured version   Unicode version

Theorem lbsind 16152
 Description: A basis is linearly independent; that is, every element has a span which trivially intersects the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsss.v
lbsss.j LBasis
lbssp.n
lbsind.f Scalar
lbsind.s
lbsind.k
lbsind.z
Assertion
Ref Expression
lbsind

Proof of Theorem lbsind
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3927 . 2
2 elfvdm 5757 . . . . . . . 8 LBasis LBasis
3 lbsss.j . . . . . . . 8 LBasis
42, 3eleq2s 2528 . . . . . . 7 LBasis
5 lbsss.v . . . . . . . 8
6 lbsind.f . . . . . . . 8 Scalar
7 lbsind.s . . . . . . . 8
8 lbsind.k . . . . . . . 8
9 lbssp.n . . . . . . . 8
10 lbsind.z . . . . . . . 8
115, 6, 7, 8, 3, 9, 10islbs 16148 . . . . . . 7 LBasis
124, 11syl 16 . . . . . 6
1312ibi 233 . . . . 5
1413simp3d 971 . . . 4
15 oveq2 6089 . . . . . . 7
16 sneq 3825 . . . . . . . . 9
1716difeq2d 3465 . . . . . . . 8
1817fveq2d 5732 . . . . . . 7
1915, 18eleq12d 2504 . . . . . 6
2019notbid 286 . . . . 5
21 oveq1 6088 . . . . . . 7
2221eleq1d 2502 . . . . . 6
2322notbid 286 . . . . 5
2420, 23rspc2v 3058 . . . 4
2514, 24syl5com 28 . . 3
2625impl 604 . 2
271, 26sylan2br 463 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   cdm 4878  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  clspn 16047  LBasisclbs 16146 This theorem is referenced by:  lbsind2  16153 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-lbs 16147
 Copyright terms: Public domain W3C validator