Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslcic Structured version   Unicode version

Theorem lbslcic 27288
Description: A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslcic.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lbslcic.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
lbslcic  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )

Proof of Theorem lbslcic
Dummy variables  e  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  I  ~~  B )
2 bren 7117 . . 3  |-  ( I 
~~  B  <->  E. e 
e : I -1-1-onto-> B )
31, 2sylib 189 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  E. e 
e : I -1-1-onto-> B )
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( F freeLMod  I )  =  ( F freeLMod  I )
5 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  =  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)
6 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
7 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
8 eqid 2436 . . . 4  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
9 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s `  W
) e ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s `  W
) e ) ) )
10 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  W  e.  LMod )
11 relen 7114 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~
1211brrelexi 4918 . . . . . 6  |-  ( I 
~~  B  ->  I  e.  _V )
13123ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  I  e.  _V )
1413adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  I  e.  _V )
15 lbslcic.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  F  =  (Scalar `  W )
)
17 f1ofo 5681 . . . . 5  |-  ( e : I -1-1-onto-> B  ->  e :
I -onto-> B )
1817adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e : I -onto-> B )
19 lbslcic.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  (LBasis `  W )
2019lbslinds 27280 . . . . . . . 8  |-  J  C_  (LIndS `  W )
2120sseli 3344 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  J  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
22213ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
24 f1of1 5673 . . . . . 6  |-  ( e : I -1-1-onto-> B  ->  e :
I -1-1-> B )
2524adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e : I -1-1-> B )
26 f1linds 27272 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  (LIndS `  W )  /\  e : I -1-1-> B
)  ->  e LIndF  W )
2710, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e LIndF  W )
286, 19, 8lbssp 16151 . . . . . 6  |-  ( B  e.  J  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
29283ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
3029adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
314, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 27, 30indlcim 27287 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  (
x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( ( F freeLMod  I ) LMIso 
W ) )
32 lmimcnv 16139 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( ( F freeLMod  I ) LMIso 
W )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( W LMIso  ( F freeLMod  I ) ) )
33 brlmici 16141 . . 3  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W 
gsumg  ( x  o F
( .s `  W
) e ) ) )  e.  ( W LMIso 
( F freeLMod  I )
)  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
3431, 32, 333syl 19 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
353, 34exlimddv 1648 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   -1-1->wf1 5451   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    ~~ cen 7106   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533    gsumg cgsu 13724   LModclmod 15950   LSpanclspn 16047   LMIso clmim 16096    ~=ph𝑚 clmic 16097  LBasisclbs 16146   freeLMod cfrlm 27189   LIndF clindf 27251  LIndSclinds 27252
This theorem is referenced by:  lmisfree  27289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lmhm 16098  df-lmim 16099  df-lmic 16100  df-lbs 16147  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-nzr 16329  df-dsmm 27175  df-frlm 27191  df-uvc 27192  df-lindf 27253  df-linds 27254
  Copyright terms: Public domain W3C validator