Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslcic Unicode version

Theorem lbslcic 27414
Description: A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslcic.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lbslcic.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
lbslcic  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )

Proof of Theorem lbslcic
Dummy variables  e  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  I  ~~  B )
2 bren 6887 . . 3  |-  ( I 
~~  B  <->  E. e 
e : I -1-1-onto-> B )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  E. e 
e : I -1-1-onto-> B )
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( F freeLMod  I )  =  ( F freeLMod  I )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  =  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s `  W
) e ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s `  W
) e ) ) )
10 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  W  e.  LMod )
11 relen 6884 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~
1211brrelexi 4745 . . . . . . . 8  |-  ( I 
~~  B  ->  I  e.  _V )
13123ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  I  e.  _V )
1413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  I  e.  _V )
15 lbslcic.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  F  =  (Scalar `  W )
)
17 f1ofo 5495 . . . . . . 7  |-  ( e : I -1-1-onto-> B  ->  e :
I -onto-> B )
1817adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e : I -onto-> B )
19 lbslcic.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  (LBasis `  W )
2019lbslinds 27406 . . . . . . . . . 10  |-  J  C_  (LIndS `  W )
2120sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  J  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
22213ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
2322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
24 f1of1 5487 . . . . . . . 8  |-  ( e : I -1-1-onto-> B  ->  e :
I -1-1-> B )
2524adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e : I -1-1-> B )
26 f1linds 27398 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  (LIndS `  W )  /\  e : I -1-1-> B
)  ->  e LIndF  W )
2710, 23, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e LIndF  W )
286, 19, 8lbssp 15848 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  J  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
29283ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
314, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 27, 30indlcim 27413 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  (
x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( ( F freeLMod  I ) LMIso 
W ) )
32 lmimcnv 15836 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( ( F freeLMod  I ) LMIso 
W )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( W LMIso  ( F freeLMod  I ) ) )
33 brlmici 15838 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W 
gsumg  ( x  o F
( .s `  W
) e ) ) )  e.  ( W LMIso 
( F freeLMod  I )
)  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
3431, 32, 333syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
3534ex 423 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  (
e : I -1-1-onto-> B  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I )
) )
3635exlimdv 1626 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  ( E. e  e :
I
-1-1-onto-> B  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I )
) )
373, 36mpd 14 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ~~ cen 6876   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228    gsumg cgsu 13417   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744   LMIso clmim 15793    ~=ph𝑚 clmic 15794  LBasisclbs 15843   freeLMod cfrlm 27315   LIndF clindf 27377  LIndSclinds 27378
This theorem is referenced by:  lmisfree  27415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lmhm 15795  df-lmim 15796  df-lmic 15797  df-lbs 15844  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-nzr 16026  df-dsmm 27301  df-frlm 27317  df-uvc 27318  df-lindf 27379  df-linds 27380
  Copyright terms: Public domain W3C validator