Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslcic Unicode version

Theorem lbslcic 26723
Description: A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslcic.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lbslcic.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
lbslcic  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )

Proof of Theorem lbslcic
Dummy variables  e  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  I  ~~  B )
2 bren 6871 . . 3  |-  ( I 
~~  B  <->  E. e 
e : I -1-1-onto-> B )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  E. e 
e : I -1-1-onto-> B )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( F freeLMod  I )  =  ( F freeLMod  I )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  =  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s `  W
) e ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s `  W
) e ) ) )
10 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  W  e.  LMod )
11 relen 6868 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~
1211brrelexi 4729 . . . . . . . 8  |-  ( I 
~~  B  ->  I  e.  _V )
13123ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  I  e.  _V )
1413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  I  e.  _V )
15 lbslcic.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  F  =  (Scalar `  W )
)
17 f1ofo 5479 . . . . . . 7  |-  ( e : I -1-1-onto-> B  ->  e :
I -onto-> B )
1817adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e : I -onto-> B )
19 lbslcic.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  (LBasis `  W )
2019lbslinds 26715 . . . . . . . . . 10  |-  J  C_  (LIndS `  W )
2120sseli 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  J  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
22213ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
2322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  B  e.  (LIndS `  W )
)
24 f1of1 5471 . . . . . . . 8  |-  ( e : I -1-1-onto-> B  ->  e :
I -1-1-> B )
2524adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e : I -1-1-> B )
26 f1linds 26707 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  (LIndS `  W )  /\  e : I -1-1-> B
)  ->  e LIndF  W )
2710, 23, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  e LIndF  W )
286, 19, 8lbssp 15832 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  J  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
29283ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  (
( LSpan `  W ) `  B )  =  (
Base `  W )
)
314, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 27, 30indlcim 26722 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  (
x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( ( F freeLMod  I ) LMIso 
W ) )
32 lmimcnv 15820 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I )
)  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( ( F freeLMod  I ) LMIso 
W )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W  gsumg  ( x  o F ( .s
`  W ) e ) ) )  e.  ( W LMIso  ( F freeLMod  I ) ) )
33 brlmici 15822 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  ( F freeLMod  I ) )  |->  ( W 
gsumg  ( x  o F
( .s `  W
) e ) ) )  e.  ( W LMIso 
( F freeLMod  I )
)  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
3431, 32, 333syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  /\  e : I -1-1-onto-> B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
3534ex 423 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  (
e : I -1-1-onto-> B  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I )
) )
3635exlimdv 1664 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  ( E. e  e :
I
-1-1-onto-> B  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I )
) )
373, 36mpd 14 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  J  /\  I  ~~  B )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ~~ cen 6860   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212    gsumg cgsu 13401   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728   LMIso clmim 15777    ~=ph𝑚 clmic 15778  LBasisclbs 15827   freeLMod cfrlm 26624   LIndF clindf 26686  LIndSclinds 26687
This theorem is referenced by:  lmisfree  26724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lmhm 15779  df-lmim 15780  df-lmic 15781  df-lbs 15828  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-nzr 16010  df-dsmm 26610  df-frlm 26626  df-uvc 26627  df-lindf 26688  df-linds 26689
  Copyright terms: Public domain W3C validator