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Theorem lbspropd 15852
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same set of bases. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbspropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lbspropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lbspropd.w  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
lbspropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lbspropd.s1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
lbspropd.s2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
lbspropd.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lbspropd.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lbspropd.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lbspropd.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lbspropd.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lbspropd.v1  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
lbspropd.v2  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
lbspropd  |-  ( ph  ->  (LBasis `  K )  =  (LBasis `  L )
)
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y   
x, F, y    x, G, y    x, P, y   
x, W, y

Proof of Theorem lbspropd
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  ph )
2 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( P  \  { ( 0g `  F ) } )  ->  v  e.  P
)
32adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  v  e.  P )
4 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  z  C_  B )
54sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  u  e.  B )
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  u  e.  B )
7 lbspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
87proplem 13592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  P  /\  u  e.  B ) )  -> 
( v ( .s
`  K ) u )  =  ( v ( .s `  L
) u ) )
91, 3, 6, 8syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  (
v ( .s `  K ) u )  =  ( v ( .s `  L ) u ) )
10 lbspropd.b1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
11 lbspropd.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
12 lbspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
13 lbspropd.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
14 lbspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
15 lbspropd.p1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
16 lbspropd.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  (Scalar `  K )
1716fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (Scalar `  K
) )
1815, 17syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
19 lbspropd.p2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
20 lbspropd.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  =  (Scalar `  L )
2120fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  (Scalar `  L
) )
2219, 21syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
23 lbspropd.v1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
24 lbspropd.v2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
2510, 11, 12, 13, 14, 7, 18, 22, 23, 24lsppropd 15775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( LSpan `  K )  =  ( LSpan `  L
) )
261, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  ( LSpan `  K )  =  ( LSpan `  L )
)
2726fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  (
( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  =  ( ( LSpan `  L ) `  (
z  \  { u } ) ) )
289, 27eleq12d 2351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  (
( v ( .s
`  K ) u )  e.  ( (
LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <-> 
( v ( .s
`  L ) u )  e.  ( (
LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
2928notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  ( -.  ( v ( .s
`  K ) u )  e.  ( (
LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <->  -.  ( v ( .s
`  L ) u )  e.  ( (
LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
3029ralbidva 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) )  <->  A. v  e.  ( P  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  (
v ( .s `  L ) u )  e.  ( ( LSpan `  L ) `  (
z  \  { u } ) ) ) )
3115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
3231difeq1d 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  =  ( (
Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } ) )
3332raleqdv 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) )  <->  A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )
3419ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  P  =  ( Base `  G
) )
35 lbspropd.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
3615, 19, 35grpidpropd 14399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  F
)  =  ( 0g
`  G ) )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0g `  G
) )
3837sneqd 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  { ( 0g `  F ) }  =  { ( 0g `  G ) } )
3934, 38difeq12d 3295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  =  ( (
Base `  G )  \  { ( 0g `  G ) } ) )
4039raleqdv 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) )  <->  A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )
4130, 33, 403bitr3d 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  (
( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <->  A. v  e.  (
( Base `  G )  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L ) u )  e.  ( ( LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
4241ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  ( A. u  e.  z  A. v  e.  (
( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <->  A. u  e.  z  A. v  e.  (
( Base `  G )  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L ) u )  e.  ( ( LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
4342anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  (
( ( ( LSpan `  K ) `  z
)  =  ( Base `  K )  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  ( ( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) ) )  <->  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
4443pm5.32da 622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  B  /\  ( ( ( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
4510sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  C_  B  <->  z 
C_  ( Base `  K
) ) )
4645anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( (
( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
4711sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  C_  B  <->  z 
C_  ( Base `  L
) ) )
4825fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  K
) `  z )  =  ( ( LSpan `  L ) `  z
) )
4910, 11eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
5048, 49eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  K ) `  z
)  =  ( Base `  K )  <->  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )
) )
5150anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
5247, 51anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
5344, 46, 523bitr3d 274 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  ( Base `  K )  /\  ( ( ( LSpan `  K ) `  z
)  =  ( Base `  K )  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  ( ( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
54 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( z  C_  ( Base `  K )  /\  (
( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( (
( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
55 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( z  C_  ( Base `  L )  /\  (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4g 279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  ( Base `  K )  /\  ( ( LSpan `  K
) `  z )  =  ( Base `  K
)  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
57 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
58 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
59 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
60 eqid 2283 . . . . 5  |-  (LBasis `  K )  =  (LBasis `  K )
61 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSpan `  K )  =  (
LSpan `  K )
62 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
6357, 16, 58, 59, 60, 61, 62islbs 15829 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  (
z  e.  (LBasis `  K )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( ( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
6423, 63syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (LBasis `  K )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( ( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
65 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
66 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
67 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
68 eqid 2283 . . . . 5  |-  (LBasis `  L )  =  (LBasis `  L )
69 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSpan `  L )  =  (
LSpan `  L )
70 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
7165, 20, 66, 67, 68, 69, 70islbs 15829 . . . 4  |-  ( L  e.  _V  ->  (
z  e.  (LBasis `  L )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
7224, 71syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (LBasis `  L )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
7356, 64, 723bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (LBasis `  K )  <->  z  e.  (LBasis `  L ) ) )
7473eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  (LBasis `  K )  =  (LBasis `  L )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   LSpanclspn 15728  LBasisclbs 15827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-0g 13404  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lbs 15828
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