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Theorem lbzbi 10353
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1610 . . 3  |-  F/ x  A  C_  RR
2 nfre1 2633 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
3 btwnz 10161 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  /\  E. z  e.  ZZ  x  <  z ) )
43simpld 445 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  z  <  x
)
5 ssel2 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
6 zre 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
7 ltletr 8958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <  y
) )
8 ltle 8955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <  y  ->  z  <_  y )
)
983adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  <  y  ->  z  <_  y ) )
107, 9syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
116, 10syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
1211exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) )
13123expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) ) )
145, 13syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1514expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  e.  A  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1615com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1716imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) )
1817ralrimiv 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) )
19 ralim 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  z  <_  y )  -> 
( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2120ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2221anasss 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )
)  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2322expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2423com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2524imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2625imdistand 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
27 breq1 4063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  z  <_  y ) )
2827ralbidv 2597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2928rspcev 2918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y )
3026, 29syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
3130ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3231com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3332ancomsd 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3433expdimp 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) ) )
3534rexlimdv 2700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3635anasss 628 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3736expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
384, 37mpdi 38 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3938ex 423 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
4039com23 72 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
411, 2, 40rexlimd 2698 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
42 zssre 10078 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
43 ssrexv 3272 . . 3  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
4442, 43ax-mp 8 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
4541, 44impbid1 194 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578    C_ wss 3186   class class class wbr 4060   RRcr 8781    < clt 8912    <_ cle 8913   ZZcz 10071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-z 10072
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