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Theorem lbzbi 10306
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1605 . . 3  |-  F/ x  A  C_  RR
2 nfre1 2599 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
3 btwnz 10114 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  /\  E. z  e.  ZZ  x  <  z ) )
43simpld 445 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  z  <  x
)
5 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
6 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
7 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <  y
) )
8 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <  y  ->  z  <_  y )
)
983adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  <  y  ->  z  <_  y ) )
107, 9syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
116, 10syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
1211exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) )
13123expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) ) )
145, 13syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1514expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  e.  A  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1615com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1716imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) )
1817ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) )
19 ralim 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  z  <_  y )  -> 
( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2120ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2221anasss 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )
)  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2322expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2423com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2524imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2625imdistand 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
27 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  z  <_  y ) )
2827ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2928rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y )
3026, 29syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
3130ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3231com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3332ancomsd 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3433expdimp 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) ) )
3534rexlimdv 2666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3635anasss 628 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3736expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
384, 37mpdi 38 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3938ex 423 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
4039com23 72 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
411, 2, 40rexlimd 2664 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
42 zssre 10031 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
43 ssrexv 3238 . . 3  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
4442, 43ax-mp 8 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
4541, 44impbid1 194 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025
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