Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdfval Structured version   Unicode version

Theorem lcdfval 32313
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lcdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lcdfval  |-  ( K  e.  X  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    w, f, K
Allowed substitution hints:    H( f)    X( w, f)

Proof of Theorem lcdfval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 lcdval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5722 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
86fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
9 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
109fveq1d 5722 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
116fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq1d 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )
1310, 12fveq12d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )
1410, 13fveq12d 5726 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) ) )
1514, 12eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )
168, 15rabeqbidv 2943 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } )
177, 16oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
(LDual `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f ) } )  =  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) )
184, 17mpteq12dv 4279 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) ) )
19 df-lcdual 32312 . . 3  |- LCDual  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) } ) ) )
20 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
213, 20eqeltri 2505 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2221mptex 5958 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )  e.  _V
2318, 19, 22fvmpt 5798 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
241, 23syl 16 1  |-  ( K  e.  X  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾s cress 13462  LFnlclfn 29782  LKerclk 29810  LDualcld 29848   LHypclh 30708   DVecHcdvh 31803   ocHcoch 32072  LCDualclcd 32311
This theorem is referenced by:  lcdval  32314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-lcdual 32312
  Copyright terms: Public domain W3C validator