Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdlss Structured version   Unicode version

Theorem lcdlss 32354
Description: Subspaces of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdlss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdlss.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcdlss.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdlss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  C )
lcdlss.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdlss.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcdlss.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcdlss.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdlss.t  |-  T  =  ( LSubSp `  D )
lcdlss.b  |-  B  =  { f  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }
lcdlss.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdlss  |-  ( ph  ->  S  =  ( T  i^i  ~P B ) )
Distinct variable groups:    D, f    f, F    f, K    f, L    f, O    U, f    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    C( f)    S( f)    T( f)    H( f)

Proof of Theorem lcdlss
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdlss.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  C )
2 lcdlss.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcdlss.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcdlss.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
5 lcdlss.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 lcdlss.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 lcdlss.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
8 lcdlss.d . . . . . . . 8  |-  D  =  (LDual `  U )
9 lcdlss.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 lcdlss.b . . . . . . . 8  |-  B  =  { f  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcdval2 32325 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  B ) )
1211fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  C )  =  ( LSubSp `  ( Ds  B ) ) )
131, 12syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( LSubSp `  ( Ds  B ) ) )
1413eleq2d 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  <->  u  e.  ( LSubSp `  ( Ds  B ) ) ) )
152, 5, 9dvhlmod 31845 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
168, 15lduallmod 29888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
17 lcdlss.t . . . . . 6  |-  T  =  ( LSubSp `  D )
182, 5, 3, 6, 7, 8, 17, 10, 9lclkr 32268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  T )
19 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Ds  B )  =  ( Ds  B )
20 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  ( Ds  B ) )  =  ( LSubSp `  ( Ds  B
) )
2119, 17, 20lsslss 16029 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  LMod  /\  B  e.  T )  ->  (
u  e.  ( LSubSp `  ( Ds  B ) )  <->  ( u  e.  T  /\  u  C_  B ) ) )
2216, 18, 21syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (
LSubSp `  ( Ds  B ) )  <->  ( u  e.  T  /\  u  C_  B ) ) )
2314, 22bitrd 245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  <->  ( u  e.  T  /\  u  C_  B ) ) )
24 elin 3522 . . . 4  |-  ( u  e.  ( T  i^i  ~P B )  <->  ( u  e.  T  /\  u  e.  ~P B ) )
25 vex 2951 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
2625elpw 3797 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~P B  <->  u  C_  B
)
2726anbi2i 676 . . . 4  |-  ( ( u  e.  T  /\  u  e.  ~P B
)  <->  ( u  e.  T  /\  u  C_  B ) )
2824, 27bitr2i 242 . . 3  |-  ( ( u  e.  T  /\  u  C_  B )  <->  u  e.  ( T  i^i  ~P B
) )
2923, 28syl6bb 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  <->  u  e.  ( T  i^i  ~P B ) ) )
3029eqrdv 2433 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( T  i^i  ~P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾s cress 13462   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000  LFnlclfn 29792  LKerclk 29820  LDualcld 29858   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DVecHcdvh 31813   ocHcoch 32082  LCDualclcd 32321
This theorem is referenced by:  lcdlss2N  32355  mapdrn2  32386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29711  df-lshyp 29712  df-lcv 29754  df-lfl 29793  df-lkr 29821  df-ldual 29859  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tgrp 31477  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dveca 31737  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874  df-dic 31908  df-dih 31964  df-doch 32083  df-djh 32130  df-lcdual 32322
  Copyright terms: Public domain W3C validator