Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdsmul Unicode version

Theorem lcdsmul 31719
Description: Scalar multiplication for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdsmul.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdsmul.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdsmul.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
lcdsmul.l  |-  L  =  ( Base `  F
)
lcdsmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  F )
lcdsmul.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdsmul.s  |-  S  =  (Scalar `  C )
lcdsmul.m  |-  .xb  =  ( .r `  S )
lcdsmul.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcdsmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
lcdsmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  L )
Assertion
Ref Expression
lcdsmul  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  Y
)  =  ( Y 
.x.  X ) )

Proof of Theorem lcdsmul
StepHypRef Expression
1 lcdsmul.m . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
2 lcdsmul.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcdsmul.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcdsmul.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  U )
5 eqid 2389 . . . . . 6  |-  (oppr `  F
)  =  (oppr `  F
)
6 lcdsmul.c . . . . . 6  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 lcdsmul.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  C )
8 lcdsmul.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdsca 31716 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  (oppr `  F
) )
109fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  (oppr
`  F ) ) )
111, 10syl5eq 2433 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  ( .r
`  (oppr
`  F ) ) )
1211oveqd 6039 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  Y
)  =  ( X ( .r `  (oppr `  F
) ) Y ) )
13 lcdsmul.l . . 3  |-  L  =  ( Base `  F
)
14 lcdsmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  F )
15 eqid 2389 . . 3  |-  ( .r
`  (oppr
`  F ) )  =  ( .r `  (oppr `  F ) )
1613, 14, 5, 15opprmul 15660 . 2  |-  ( X ( .r `  (oppr `  F
) ) Y )  =  ( Y  .x.  X )
1712, 16syl6eq 2437 1  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  Y
)  =  ( Y 
.x.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   .rcmulr 13459  Scalarcsca 13461  opprcoppr 15656   HLchlt 29467   LHypclh 30100   DVecHcdvh 31195  LCDualclcd 31703
This theorem is referenced by:  lcdvsass  31724  hgmapmul  32015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-undef 6481  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-0g 13656  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-dvr 15717  df-drng 15766  df-lmod 15881  df-lvec 16104  df-ldual 29241  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616  df-lines 29617  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-padd 29912  df-lhyp 30104  df-laut 30105  df-ldil 30220  df-ltrn 30221  df-trl 30275  df-tendo 30871  df-edring 30873  df-dvech 31196  df-lcdual 31704
  Copyright terms: Public domain W3C validator