Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvadd Unicode version

Theorem lcdvadd 31763
Description: Vector addition for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvadd.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvadd.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvadd.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdvadd.a  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lcdvadd.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvadd.p  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
lcdvadd.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdvadd  |-  ( ph  -> 
.+b  =  .+  )

Proof of Theorem lcdvadd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdvadd.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2380 . . . 4  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcdvadd.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 lcdvadd.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2380 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
6 eqid 2380 . . . 4  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
7 lcdvadd.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  U )
8 lcdvadd.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdval 31755 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
109fveq2d 5665 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  C
)  =  ( +g  `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
11 lcdvadd.p . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
12 fvex 5675 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  e.  _V
1312rabex 4288 . . 3  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V
14 eqid 2380 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
15 lcdvadd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  D )
1614, 15ressplusg 13491 . . 3  |-  ( { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
1713, 16ax-mp 8 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
1810, 11, 173eqtr4g 2437 1  |-  ( ph  -> 
.+b  =  .+  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646   _Vcvv 2892   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   ↾s cress 13390   +g cplusg 13449  LFnlclfn 29223  LKerclk 29251  LDualcld 29289   HLchlt 29516   LHypclh 30149   DVecHcdvh 31244   ocHcoch 31513  LCDualclcd 31752
This theorem is referenced by:  lcdvaddval  31764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-lcdual 31753
  Copyright terms: Public domain W3C validator