Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdval Unicode version

Theorem lcdval 32401
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcdval.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdval.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcdval.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcdval.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdval.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  X  /\  W  e.  H
) )
Assertion
Ref Expression
lcdval  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
Distinct variable groups:    f, K    f, F    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( f)    U( f)    H( f)    L( f)    ._|_ ( f)    X( f)

Proof of Theorem lcdval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdval.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  X  /\  W  e.  H
) )
2 lcdval.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 lcdval.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
43lcdfval 32400 . . . . 5  |-  ( K  e.  X  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
54fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (
(LCDual `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) `  W ) )
62, 5syl5eq 2340 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  C  =  ( ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) ) `  W ) )
7 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
8 lcdval.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
97, 8syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  U )
109fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LDual `  U ) )
11 lcdval.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
1210, 11syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  D )
139fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LFnl `  U ) )
14 lcdval.f . . . . . . 7  |-  F  =  (LFnl `  U )
1513, 14syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  F )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
17 lcdval.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1816, 17syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ._|_  )
199fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LKer `  U ) )
20 lcdval.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  (LKer `  U )
2119, 20syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  L )
2221fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  =  ( L `  f ) )
2318, 22fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )
2418, 23fveq12d 5547 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) ) )
2524, 22eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) ) )
2615, 25rabeqbidv 2796 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) }  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) } )
2712, 26oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } ) )
28 eqid 2296 . . . 4  |-  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )
29 ovex 5899 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5618 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) `  W )  =  ( Ds  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } ) )
316, 30sylan9eq 2348 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
321, 31syl 15 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾s cress 13165  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897  LDualcld 29935   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890   ocHcoch 32159  LCDualclcd 32398
This theorem is referenced by:  lcdval2  32402  lcdlvec  32403  lcdvadd  32409  lcdsca  32411  lcdvs  32415  lcd0v  32423  lcdlsp  32433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-lcdual 32399
  Copyright terms: Public domain W3C validator