Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvs Unicode version

Theorem lcdvs 31720
Description: Scalar product for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvs.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvs.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
lcdvs.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvs.m  |-  .xb  =  ( .s `  C )
lcdvs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdvs  |-  ( ph  -> 
.xb  =  .x.  )

Proof of Theorem lcdvs
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdvs.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2389 . . . 4  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcdvs.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 lcdvs.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2389 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
6 eqid 2389 . . . 4  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
7 lcdvs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  U )
8 lcdvs.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdval 31706 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
109fveq2d 5674 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  C
)  =  ( .s
`  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
11 lcdvs.m . 2  |-  .xb  =  ( .s `  C )
12 fvex 5684 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  e.  _V
1312rabex 4297 . . 3  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V
14 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
15 lcdvs.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
1614, 15ressvsca 13534 . . 3  |-  ( { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
1713, 16ax-mp 8 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
1810, 11, 173eqtr4g 2446 1  |-  ( ph  -> 
.xb  =  .x.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2655   _Vcvv 2901   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ↾s cress 13399   .scvsca 13462  LFnlclfn 29174  LKerclk 29202  LDualcld 29240   HLchlt 29467   LHypclh 30100   DVecHcdvh 31195   ocHcoch 31464  LCDualclcd 31703
This theorem is referenced by:  lcdvsval  31721  lcdlkreq2N  31740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-vsca 13475  df-lcdual 31704
  Copyright terms: Public domain W3C validator