Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Unicode version

Theorem lcdvsubval 32354
 Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h
lcdvsubval.u
lcdvsubval.v
lcdvsubval.r Scalar
lcdvsubval.s
lcdvsubval.c LCDual
lcdvsubval.d
lcdvsubval.m
lcdvsubval.k
lcdvsubval.f
lcdvsubval.g
lcdvsubval.x
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5
2 lcdvsubval.c . . . . 5 LCDual
3 lcdvsubval.k . . . . 5
41, 2, 3lcdlmod 32328 . . . 4
5 lcdvsubval.f . . . 4
6 lcdvsubval.g . . . 4
7 lcdvsubval.d . . . . 5
8 eqid 2436 . . . . 5
9 lcdvsubval.m . . . . 5
10 eqid 2436 . . . . 5 Scalar Scalar
11 eqid 2436 . . . . 5
12 eqid 2436 . . . . 5 Scalar Scalar
13 eqid 2436 . . . . 5 Scalar Scalar
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 15992 . . . 4 ScalarScalar
154, 5, 6, 14syl3anc 1184 . . 3 ScalarScalar
1615fveq1d 5723 . 2 ScalarScalar
17 lcdvsubval.u . . 3
18 lcdvsubval.v . . 3
19 lcdvsubval.r . . 3 Scalar
20 eqid 2436 . . 3
21 eqid 2436 . . . 4
2210lmodfgrp 15952 . . . . . . 7 Scalar
234, 22syl 16 . . . . . 6 Scalar
2410lmodrng 15951 . . . . . . . 8 Scalar
254, 24syl 16 . . . . . . 7 Scalar
26 eqid 2436 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2726, 13rngidcl 15677 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
2825, 27syl 16 . . . . . 6 Scalar Scalar
2926, 12grpinvcl 14843 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
3023, 28, 29syl2anc 643 . . . . 5 ScalarScalar Scalar
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 32336 . . . . 5 Scalar
3230, 31eleqtrd 2512 . . . 4 ScalarScalar
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 32341 . . 3 ScalarScalar
34 lcdvsubval.x . . 3
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 32334 . 2 ScalarScalar ScalarScalar
36 eqid 2436 . . . . . . . . 9
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 32346 . . . . . . . 8 Scalar
38 eqid 2436 . . . . . . . . 9
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 32345 . . . . . . . 8 Scalar
4037, 39fveq12d 5727 . . . . . . 7 ScalarScalar
4140oveq1d 6089 . . . . . 6 ScalarScalar
4241fveq1d 5723 . . . . 5 ScalarScalar
43 eqid 2436 . . . . . 6
441, 17, 3dvhlmod 31846 . . . . . . . . 9
4519lmodrng 15951 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8
47 rnggrp 15662 . . . . . . . 8
4846, 47syl 16 . . . . . . 7
4919, 21, 38lmod1cl 15970 . . . . . . . 8
5044, 49syl 16 . . . . . . 7
5121, 36grpinvcl 14843 . . . . . . 7
5248, 50, 51syl2anc 643 . . . . . 6
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 32340 . . . . 5
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 32332 . . . . . 6
5521, 43, 38, 36, 46, 54rngnegr 15697 . . . . 5
5642, 53, 553eqtrd 2472 . . . 4 ScalarScalar
5756oveq2d 6090 . . 3 ScalarScalar
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 32332 . . . 4
59 lcdvsubval.s . . . . 5
6021, 20, 36, 59grpsubval 14841 . . . 4
6158, 54, 60syl2anc 643 . . 3
6257, 61eqtr4d 2471 . 2 ScalarScalar
6316, 35, 623eqtrd 2472 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5447  (class class class)co 6074  cbs 13462   cplusg 13522  cmulr 13523  Scalarcsca 13525  cvsca 13526  cgrp 14678  cminusg 14679  csg 14681  crg 15653  cur 15655  clmod 15943  chlt 30086  clh 30719  cdvh 31814  LCDualclcd 32322 This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  32659 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-undef 6536  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-0g 13720  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-oppg 15135  df-lsm 15263  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-oppr 15721  df-dvdsr 15739  df-unit 15740  df-invr 15770  df-dvr 15781  df-drng 15830  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-lvec 16168  df-lsatoms 29712  df-lshyp 29713  df-lcv 29755  df-lfl 29794  df-lkr 29822  df-ldual 29860  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-llines 30233  df-lplanes 30234  df-lvols 30235  df-lines 30236  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723  df-laut 30724  df-ldil 30839  df-ltrn 30840  df-trl 30894  df-tgrp 31478  df-tendo 31490  df-edring 31492  df-dveca 31738  df-disoa 31765  df-dvech 31815  df-dib 31875  df-dic 31909  df-dih 31965  df-doch 32084  df-djh 32131  df-lcdual 32323
 Copyright terms: Public domain W3C validator