Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcf1o Structured version   Unicode version

Theorem lcf1o 32286
Description: Define a function  J that provides a bijection from nonzero vectors  V to nonzero functionals with closed kernels  C. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcf1o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcf1o.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcf1o.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcf1o.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcf1o.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcf1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcf1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcf1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcf1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
lcf1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcf1o.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcflo.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcf1o  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    x, w,  ._|_    x,  .0.    x, v, V    x,  .x.    v, k, w, x, 
.+    x, R    f, k,
v, w, x,  .+    ._|_ , f, k, v    f, L    R, f, k, v    f, F    f, V    .x. , f, k, v, w
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f, k)    C( x, w, v, f, k)    D( x, w, v, f, k)    Q( x, w, v, f, k)    R( w)    S( x, w, v, f, k)    U( x, w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    J( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( w, v, f, k)

Proof of Theorem lcf1o
Dummy variables  l  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcf1o.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcf1o.o . 2  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcf1o.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcf1o.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcf1o.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcf1o.t . 2  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcf1o.s . 2  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcf1o.r . 2  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcf1o.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcf1o.f . 2  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcf1o.l . 2  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcf1o.d . 2  |-  D  =  (LDual `  U )
13 lcf1o.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
14 lcf1o.c . 2  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
15 lcf1o.j . . 3  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
16 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
k  .x.  x )
) )
1716eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( z  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
1817cbvrexv 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( z  .+  ( k  .x.  x
) ) )
19 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  x )  =  ( l  .x.  x ) )
2019oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  (
z  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) )
2120eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  l  ->  (
v  =  ( z 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2221rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  l  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2318, 22syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2423cbvriotav 6553 . . . . . . 7  |-  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) )
25 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2625rexbidv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  u  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2726riotabidv 6543 . . . . . . 7  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2824, 27syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2928cbvmptv 4292 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
30 sneq 3817 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
3130fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
32 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
l  .x.  x )  =  ( l  .x.  y ) )
3332oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  ( l  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) )
3433eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
u  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
3531, 34rexeqbidv 2909 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
3635riotabidv 6543 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
3736mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
3829, 37syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
3938cbvmptv 4292 . . 3  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
4015, 39eqtri 2455 . 2  |-  J  =  ( y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
41 lcflo.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41lcfrlem9 32285 1  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309   {csn 3806    e. cmpt 4258   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715  LFnlclfn 29792  LKerclk 29820  LDualcld 29858   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DVecHcdvh 31813   ocHcoch 32082
This theorem is referenced by:  lcfrlem13  32290  hvmap1o  32498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29711  df-lshyp 29712  df-lfl 29793  df-lkr 29821  df-ldual 29859  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tgrp 31477  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dveca 31737  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874  df-dic 31908  df-dih 31964  df-doch 32083  df-djh 32130
  Copyright terms: Public domain W3C validator