Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6 Unicode version

Theorem lcfl6 31759
Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 29353. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( x, f)    R( x, w, f)    S( v, f)    .x. ( x, f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl6
StepHypRef Expression
1 df-ne 2523 . . . . 5  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
2 lcfl6.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcfl6.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl6.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfl6.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 lcfl6.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (Scalar `  U )
7 lcfl6.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
9 lcfl6.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
10 lcfl6.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
11 lcfl6.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 lcfl6.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  G  e.  F )
15 lcfl6.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
162, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13lcfl2 31752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
1716biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
1817orcomd 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
1918ord 366 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
201, 19syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
2120imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
)
222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21dochkr1 31737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )
232, 4, 11dvhlmod 31369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
245, 9, 10, 23, 13lkrssv 29355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
252, 4, 5, 3dochssv 31614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
2611, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
27 ssdif 3387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  C_  V  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G
) )  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  }
) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2928ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
30 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
3129, 30sseldd 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
32 lcfl6.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  U )
33 lcfl6.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  U )
34 lcfl6.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  S
)
3511ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3613ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  e.  F )
37 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( 1r
`  S ) )
382, 3, 4, 5, 32, 33, 6, 8, 34, 7, 9, 10, 35, 36, 30, 37lcfl6lem 31757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
3931, 38jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4039ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (
( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
\  {  .0.  }
)  /\  ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) ) )
4140reximdv2 2728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( E. x  e.  (
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4222, 41mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
4342ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
441, 43syl5bir 209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4544orrd 367 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4645ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
47 olc 373 . . . 4  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
4847, 16syl5ibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  G  e.  C
) )
4911adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
50 eldifi 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  V )
5150adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  V )
5251snssd 3839 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  { x }  C_  V )
53 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
542, 53, 4, 5, 3dochcl 31612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { x }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
5549, 52, 54syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
562, 53, 3dochoc 31626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  {
x } )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
5749, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
58573adant3 975 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
59 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
6059fveq2d 5612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  ( L `
 ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) )
61 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
62 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
632, 3, 4, 5, 7, 32, 33, 10, 6, 34, 61, 49, 62dochsnkr2 31732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
64633adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6560, 64eqtrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6665fveq2d 5612 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )
6766fveq2d 5612 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) ) )
6858, 67, 653eqtr4d 2400 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
69133ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  F )
7015, 69lcfl1 31751 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
7168, 70mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
7271rexlimdv3a 2745 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  G  e.  C ) )
7348, 72jaod 369 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
)
7446, 73impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   E.wrex 2620   {crab 2623    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716    e. cmpt 4158   ran crn 4772   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   iota_crio 6384   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   0gc0g 13499   1rcur 15438  LFnlclfn 29316  LKerclk 29344   HLchlt 29609   LHypclh 30242   DVecHcdvh 31337   DIsoHcdih 31487   ocHcoch 31606
This theorem is referenced by:  lcfl7N  31760  lcfrlem9  31809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-fal 1320  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-undef 6385  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-p1 14245  df-lat 14251  df-clat 14313  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-dvr 15564  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955  df-lsatoms 29235  df-lshyp 29236  df-lfl 29317  df-lkr 29345  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-llines 29756  df-lplanes 29757  df-lvols 29758  df-lines 29759  df-psubsp 29761  df-pmap 29762  df-padd 30054  df-lhyp 30246  df-laut 30247  df-ldil 30362  df-ltrn 30363  df-trl 30417  df-tgrp 31001  df-tendo 31013  df-edring 31015  df-dveca 31261  df-disoa 31288  df-dvech 31338  df-dib 31398  df-dic 31432  df-dih 31488  df-doch 31607  df-djh 31654
  Copyright terms: Public domain W3C validator