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Theorem lcfl7N 31691
Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 29284. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl7N  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w   
x,  .+    x, R    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( f)    R( w, f)    S( v, f)    .x. ( f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl7N
Dummy variables  l  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl6.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl6.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfl6.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfl6.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl6.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfl6.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcfl6.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcfl6.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcfl6.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcfl6.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcfl6.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcfl6.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
13 lcfl6.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
14 lcfl6.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfl6 31690 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
1613ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
19 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
20 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
21 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
22 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2322rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2423riotabidv 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
25 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  x )  =  ( l  .x.  x ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  x )
) )
2726eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2827rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
29 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) )
3029eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3130cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) )
3228, 31syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
3332cbvriotav 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) )
3424, 33syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3534cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3621, 35syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) ) )
37 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
38 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
3938rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
4039riotabidv 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
41 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  y )  =  ( l  .x.  y ) )
4241oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  y ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  y )
) )
4342eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4443rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
45 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  y ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) )
4645eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
4746cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) )
4844, 47syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4948cbvriotav 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) )
5040, 49syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5150cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5237, 51syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
5336, 52eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53lcfl7lem 31689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  =  y )
5554ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
5655ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
)
5756a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
5857ancld 536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
59 sneq 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
6059fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
61 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  x )  =  ( k  .x.  y ) )
6261oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) )
6362eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6460, 63rexeqbidv 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6564riotabidv 6306 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
6665mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
6766eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  <-> 
G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) ) )
6867reu4 2959 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
6958, 68syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) )
70 reurex 2754 . . . 4  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
7169, 70impbid1 194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
7271orbi2d 682 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  <->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) ) )
7315, 72bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547    \ cdif 3149   {csn 3640    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   ocHcoch 31537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585
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