Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl7N Structured version   Unicode version

Theorem lcfl7N 32236
 Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that means the functional is zero by lkr0f 29829. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h
lcfl6.o
lcfl6.u
lcfl6.v
lcfl6.a
lcfl6.t
lcfl6.s Scalar
lcfl6.r
lcfl6.z
lcfl6.f LFnl
lcfl6.l LKer
lcfl6.c
lcfl6.k
lcfl6.g
Assertion
Ref Expression
lcfl7N
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   , ,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   ()   (,)   (,)   ()   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,)   (,,)   (,,,,)   (,,)

Proof of Theorem lcfl7N
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl6.h . . 3
2 lcfl6.o . . 3
3 lcfl6.u . . 3
4 lcfl6.v . . 3
5 lcfl6.a . . 3
6 lcfl6.t . . 3
7 lcfl6.s . . 3 Scalar
8 lcfl6.r . . 3
9 lcfl6.z . . 3
10 lcfl6.f . . 3 LFnl
11 lcfl6.l . . 3 LKer
12 lcfl6.c . . 3
13 lcfl6.k . . 3
14 lcfl6.g . . 3
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfl6 32235 . 2
1613ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
17 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
18 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
19 simplrl 737 . . . . . . . . . 10
20 simplrr 738 . . . . . . . . . 10
21 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
22 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423riotabidv 6543 . . . . . . . . . . . . . 14
25 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2625oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2726eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130cbvrexv 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3228, 31syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332cbvriotav 6553 . . . . . . . . . . . . . 14
3424, 33syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13
3534cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . . 12
3621, 35syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11
37 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
38 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039riotabidv 6543 . . . . . . . . . . . . . 14
41 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4241oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4342eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746cbvrexv 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4844, 47syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948cbvriotav 6553 . . . . . . . . . . . . . 14
5040, 49syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13
5150cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . . 12
5237, 51syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11
5336, 52eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53lcfl7lem 32234 . . . . . . . . 9
5554ex 424 . . . . . . . 8
5655ralrimivva 2790 . . . . . . 7
5756a1d 23 . . . . . 6
5857ancld 537 . . . . 5
59 sneq 3817 . . . . . . . . . . 11
6059fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
61 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
6362eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10
6460, 63rexeqbidv 2909 . . . . . . . . 9
6564riotabidv 6543 . . . . . . . 8
6665mpteq2dv 4288 . . . . . . 7
6766eqeq2d 2446 . . . . . 6
6867reu4 3120 . . . . 5
6958, 68syl6ibr 219 . . . 4
70 reurex 2914 . . . 4
7169, 70impbid1 195 . . 3
7271orbi2d 683 . 2
7315, 72bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  wreu 2699  crab 2701   cdif 3309  csn 3806   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  crio 6534  cbs 13461   cplusg 13521  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  c0g 13715  LFnlclfn 29792  LKerclk 29820  chlt 30085  clh 30718  cdvh 31813  coch 32082 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29711  df-lshyp 29712  df-lfl 29793  df-lkr 29821  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tgrp 31477  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dveca 31737  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874  df-dic 31908  df-dih 31964  df-doch 32083  df-djh 32130
 Copyright terms: Public domain W3C validator