Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Structured version   Unicode version

Theorem lcfl9a 32303
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl9a.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl9a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl9a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl9a.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl9a.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl9a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl9a.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfl9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lcfl9a.s  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
Assertion
Ref Expression
lcfl9a  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl9a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfl9a.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl9a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl9a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 32159 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
76adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
101, 2, 5dvhlmod 31908 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 29894 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  V
)
14 sneq 3825 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X }  =  { ( 0g `  U ) } )
1514fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) )
16 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
171, 2, 3, 4, 16doch0 32156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
185, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
1915, 18sylan9eqr 2490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } )  =  V )
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
2120adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } ) 
C_  ( L `  G ) )
2219, 21eqsstr3d 3383 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  V  C_  ( L `  G )
)
2313, 22eqssd 3365 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  =  V )
2423fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
2524fveq2d 5732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
267, 25, 233eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
276adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
28 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
2928fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
3029fveq2d 5732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
3127, 30, 283eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
32 lcfl9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3332snssd 3943 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
34 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
351, 34, 2, 4, 3dochcl 32151 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { X }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
365, 33, 35syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
371, 34, 3dochoc 32165 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
385, 36, 37syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
3938adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
4020adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  C_  ( L `  G ) )
41 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
421, 2, 5dvhlvec 31907 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4342adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  U  e.  LVec )
445adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4532adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  V )
46 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
47 eldifsn 3927 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) ) )
4845, 46, 47sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 32251 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  (LSHyp `  U ) )
50 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  =/=  V )
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 29906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U
) ) )
5251adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U ) ) )
5350, 52mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U )
)
5441, 43, 49, 53lshpcmp 29786 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
(  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )  <->  ( 
._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) ) )
5540, 54mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) )
5655fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )
5756fveq2d 5732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) ) )
5839, 57, 553eqtr3d 2476 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) )
5926, 31, 58pm2.61da2ne 2683 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   ran crn 4879   ` cfv 5454   Basecbs 13469   0gc0g 13723   LVecclvec 16174  LSHypclsh 29773  LFnlclfn 29855  LKerclk 29883   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DVecHcdvh 31876   DIsoHcdih 32026   ocHcoch 32145
This theorem is referenced by:  mapdsn  32439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-lshyp 29775  df-lfl 29856  df-lkr 29884  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tgrp 31540  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-dveca 31800  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027  df-doch 32146  df-djh 32193
  Copyright terms: Public domain W3C validator