Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Unicode version

Theorem lcfl9a 31695
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl9a.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl9a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl9a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl9a.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl9a.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl9a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl9a.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfl9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lcfl9a.s  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
Assertion
Ref Expression
lcfl9a  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl9a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfl9a.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl9a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl9a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 31551 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
76adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
101, 2, 5dvhlmod 31300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 29286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  V
)
14 sneq 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X }  =  { ( 0g `  U ) } )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
171, 2, 3, 4, 16doch0 31548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
185, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
1915, 18sylan9eqr 2337 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } )  =  V )
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
2120adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } ) 
C_  ( L `  G ) )
2219, 21eqsstr3d 3213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  V  C_  ( L `  G )
)
2313, 22eqssd 3196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  =  V )
2423fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
2524fveq2d 5529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
267, 25, 233eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
276adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
28 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
2928fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
3029fveq2d 5529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
3127, 30, 283eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
32 lcfl9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3332snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
34 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
351, 34, 2, 4, 3dochcl 31543 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { X }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
365, 33, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
371, 34, 3dochoc 31557 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
385, 36, 37syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
3938adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
4020adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  C_  ( L `  G ) )
41 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
421, 2, 5dvhlvec 31299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4342adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  U  e.  LVec )
445adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4532adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  V )
46 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
47 eldifsn 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) ) )
4845, 46, 47sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 31643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  (LSHyp `  U ) )
50 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  =/=  V )
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 29298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U
) ) )
5251adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U ) ) )
5350, 52mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U )
)
5441, 43, 49, 53lshpcmp 29178 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
(  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )  <->  ( 
._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) ) )
5540, 54mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) )
5655fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )
5756fveq2d 5529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) ) )
5839, 57, 553eqtr3d 2323 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) )
5926, 31, 58pm2.61da2ne 2525 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   ran crn 4690   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LVecclvec 15855  LSHypclsh 29165  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418   ocHcoch 31537
This theorem is referenced by:  mapdsn  31831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585
  Copyright terms: Public domain W3C validator