Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem13 Unicode version

Theorem lcfrlem13 31563
Description: Lemma for lcfr 31593. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcf1o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcf1o.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcf1o.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcf1o.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcf1o.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcf1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcf1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcf1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcf1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
lcf1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcf1o.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcflo.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem10.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem13  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  ( C 
\  { Q }
) )
Distinct variable groups:    x, w,  ._|_    x,  .0.    x, v, V    x,  .x.    v, k, w, x, X    x,  .+    x, R    .+ , k, v, w    ._|_ , k, v    R, k, v    S, k    .x. , k, v, w, f    .+ , f    f, F    f, L   
._|_ , f    R, f    .x. , f    f, V, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f, k)    C( x, w, v, f, k)    D( x, w, v, f, k)    Q( x, w, v, f, k)    R( w)    S( x, w, v, f)    U( x, w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    J( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, k)    X( f)    .0. ( w, v, f, k)

Proof of Theorem lcfrlem13
StepHypRef Expression
1 lcf1o.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcf1o.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcf1o.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcf1o.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcf1o.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcf1o.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcf1o.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcf1o.r . . . 4  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcf1o.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcf1o.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcf1o.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcf1o.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  U )
13 lcf1o.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
14 lcf1o.c . . . 4  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
15 lcf1o.j . . . 4  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
16 lcflo.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16lcf1o 31559 . . 3  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
18 f1of 5510 . . 3  |-  ( J : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C 
\  { Q }
)  ->  J :
( V  \  {  .0.  } ) --> ( C 
\  { Q }
) )
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
) --> ( C  \  { Q } ) )
20 lcfrlem10.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 ffvelrn 5701 . 2  |-  ( ( J : ( V 
\  {  .0.  }
) --> ( C  \  { Q } )  /\  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  X )  e.  ( C  \  { Q } ) )
2219, 20, 21syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  ( C 
\  { Q }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578   {crab 2581    \ cdif 3183   {csn 3674    e. cmpt 4114   -->wf 5288   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   iota_crio 6339   Basecbs 13195   +g cplusg 13255  Scalarcsca 13258   .scvsca 13259   0gc0g 13449  LFnlclfn 29065  LKerclk 29093  LDualcld 29131   HLchlt 29358   LHypclh 29991   DVecHcdvh 31086   ocHcoch 31355
This theorem is referenced by:  lcfrlem16  31566  lcfrlem25  31575  lcfrlem33  31583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-undef 6340  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-0g 13453  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-cntz 14842  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-dvr 15514  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905  df-lsatoms 28984  df-lshyp 28985  df-lfl 29066  df-lkr 29094  df-ldual 29132  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507  df-lines 29508  df-psubsp 29510  df-pmap 29511  df-padd 29803  df-lhyp 29995  df-laut 29996  df-ldil 30111  df-ltrn 30112  df-trl 30166  df-tgrp 30750  df-tendo 30762  df-edring 30764  df-dveca 31010  df-disoa 31037  df-dvech 31087  df-dib 31147  df-dic 31181  df-dih 31237  df-doch 31356  df-djh 31403
  Copyright terms: Public domain W3C validator