Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem20 Unicode version

Theorem lcfrlem20 32049
Description: Lemma for lcfr 32072. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem20.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem20  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )

Proof of Theorem lcfrlem20
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lcfrlem17.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 eqid 2408 . . . 4  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
4 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 lcfrlem17.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6dvhlmod 31597 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 lcfrlem17.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3296 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lcfrlem17.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3296 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
121, 2, 3, 7, 9, 11lsmpr 16120 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) )
1312ineq1d 3505 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) ) )
14 eqid 2408 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
15 eqid 2408 . . 3  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
16 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
174, 5, 6dvhlvec 31596 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
18 lcfrlem17.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
19 lcfrlem17.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
20 lcfrlem17.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
21 lcfrlem17.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
224, 18, 5, 1, 20, 19, 2, 16, 6, 8, 10, 21lcfrlem17 32046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
234, 18, 5, 1, 19, 15, 6, 22dochsnshp 31940 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (LSHyp `  U ) )
241, 2, 19, 16, 7, 8lsatlspsn 29480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  A
)
251, 2, 19, 16, 7, 10lsatlspsn 29480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  A
)
26 lcfrlem20.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
271, 20lmodvacl 15923 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
287, 9, 11, 27syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
2928snssd 3907 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  C_  V )
304, 5, 1, 14, 18dochlss 31841 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { ( X 
.+  Y ) } 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
316, 29, 30syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
321, 14, 2, 7, 31, 9lspsnel5 16030 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  <->  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
3326, 32mtbid 292 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
3414, 3, 15, 16, 17, 23, 24, 25, 21, 33lshpat 29543 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Y } ) )  i^i  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  e.  A )
3513, 34eqeltrd 2482 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    \ cdif 3281    i^i cin 3283    C_ wss 3284   {csn 3778   {cpr 3779   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   0gc0g 13682   LSSumclsm 15227   LModclmod 15909   LSubSpclss 15967   LSpanclspn 16006  LSAtomsclsa 29461  LSHypclsh 29462   HLchlt 29837   LHypclh 30470   DVecHcdvh 31565   ocHcoch 31834
This theorem is referenced by:  lcfrlem21  32050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-oppg 15101  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134  df-lsatoms 29463  df-lshyp 29464  df-lcv 29506  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tgrp 31229  df-tendo 31241  df-edring 31243  df-dveca 31489  df-disoa 31516  df-dvech 31566  df-dib 31626  df-dic 31660  df-dih 31716  df-doch 31835  df-djh 31882
  Copyright terms: Public domain W3C validator