Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem20 Unicode version

Theorem lcfrlem20 31804
Description: Lemma for lcfr 31827. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem20.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem20  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )

Proof of Theorem lcfrlem20
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lcfrlem17.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 eqid 2358 . . . 4  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
4 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 lcfrlem17.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6dvhlmod 31352 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 lcfrlem17.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
9 eldifi 3374 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 lcfrlem17.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 eldifi 3374 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
141, 2, 3, 7, 10, 13lsmpr 15935 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) )
1514ineq1d 3445 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) ) )
16 eqid 2358 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
17 eqid 2358 . . 3  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
18 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
194, 5, 6dvhlvec 31351 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
20 lcfrlem17.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
21 lcfrlem17.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
22 lcfrlem17.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
23 lcfrlem17.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
244, 20, 5, 1, 22, 21, 2, 18, 6, 8, 11, 23lcfrlem17 31801 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
254, 20, 5, 1, 21, 17, 6, 24dochsnshp 31695 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (LSHyp `  U ) )
261, 2, 21, 18, 7, 8lsatlspsn 29235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  A
)
271, 2, 21, 18, 7, 11lsatlspsn 29235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  A
)
28 lcfrlem20.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
291, 22lmodvacl 15734 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
307, 10, 13, 29syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
3130snssd 3839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  C_  V )
324, 5, 1, 16, 20dochlss 31596 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { ( X 
.+  Y ) } 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
336, 31, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
341, 16, 2, 7, 33, 10lspsnel5 15845 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  <->  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
3528, 34mtbid 291 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
3616, 3, 17, 18, 19, 25, 26, 27, 23, 35lshpat 29298 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Y } ) )  i^i  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  e.  A )
3715, 36eqeltrd 2432 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   {csn 3716   {cpr 3717   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   0gc0g 13493   LSSumclsm 15038   LModclmod 15720   LSubSpclss 15782   LSpanclspn 15821  LSAtomsclsa 29216  LSHypclsh 29217   HLchlt 29592   LHypclh 30225   DVecHcdvh 31320   ocHcoch 31589
This theorem is referenced by:  lcfrlem21  31805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-fal 1320  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-undef 6382  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-0g 13497  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-poset 14173  df-plt 14185  df-lub 14201  df-glb 14202  df-join 14203  df-meet 14204  df-p0 14238  df-p1 14239  df-lat 14245  df-clat 14307  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-cntz 14886  df-oppg 14912  df-lsm 15040  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-dvr 15558  df-drng 15607  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-lvec 15949  df-lsatoms 29218  df-lshyp 29219  df-lcv 29261  df-oposet 29418  df-ol 29420  df-oml 29421  df-covers 29508  df-ats 29509  df-atl 29540  df-cvlat 29564  df-hlat 29593  df-llines 29739  df-lplanes 29740  df-lvols 29741  df-lines 29742  df-psubsp 29744  df-pmap 29745  df-padd 30037  df-lhyp 30229  df-laut 30230  df-ldil 30345  df-ltrn 30346  df-trl 30400  df-tgrp 30984  df-tendo 30996  df-edring 30998  df-dveca 31244  df-disoa 31271  df-dvech 31321  df-dib 31381  df-dic 31415  df-dih 31471  df-doch 31590  df-djh 31637
  Copyright terms: Public domain W3C validator