Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Unicode version

Theorem lcfrlem21 31678
Description: Lemma for lcfr 31700. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfrlem17.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 lcfrlem17.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
9 lcfrlem17.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 lcfrlem17.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
13 lcfrlem17.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
15 lcfrlem17.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 31677 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
191, 3, 9dvhlmod 31225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
2011eldifad 3275 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2113eldifad 3275 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
224, 5lmodcom 15917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
2423sneqd 3770 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  X ) } )
2524fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )
2625eleq2d 2454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  <->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) ) )
2726biimprd 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
2827con3and 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
29 prcom 3825 . . . . . . . 8  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
3029fveq2i 5671 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  X } )
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( N `
 { Y ,  X } ) )
3231, 25ineq12d 3486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
3332adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
349adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3513adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3611adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3715necomd 2633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
3837adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
39 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 31677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )  e.  A
)
4133, 40eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
4228, 41syldan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 31676 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  \/  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
4418, 42, 43mpjaodan 762 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    \ cdif 3260    i^i cin 3262   {csn 3757   {cpr 3758   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   0gc0g 13650   LModclmod 15877   LSpanclspn 15974  LSAtomsclsa 29089   HLchlt 29465   LHypclh 30098   DVecHcdvh 31193   ocHcoch 31462
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  31679  lcfrlem40  31697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-oppg 15069  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102  df-lsatoms 29091  df-lshyp 29092  df-lcv 29134  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tgrp 30857  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-dveca 31117  df-disoa 31144  df-dvech 31194  df-dib 31254  df-dic 31288  df-dih 31344  df-doch 31463  df-djh 31510
  Copyright terms: Public domain W3C validator