Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem27 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem27 32305
Description: Lemma for lcfr 32321. Special case of lcfrlem37 32315 when  ( ( J `
 Y ) `  I ) is zero. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem25.jz  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =  Q )
lcfrlem25.in  |-  ( ph  ->  I  =/=  .0.  )
lcfrlem27.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
lcfrlem27.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
lcfrlem27.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem27.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem27.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem27  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.    f, L    ._|_ , f    .+ , f    R, f    .x. , f    U, f    f, V    f, k, v, w, x, g    g, G, k    f, g, J, k    g, L, k    ._|_ , g    .+ , g    U, k    g, V    g, X    f, Y, g    ph, g, k   
v, g, w, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f)    A( x, w, v, f, g, k)    B( x, w, v, f, g, k)    D( x, w, v, f, g, k)    Q( x, w, v, f, g, k)    R( w, g)    S( x, w, v, f, g)    .x. ( g)    U( x, w, v, g)    E( x, w, v, f, g, k)    G( x, w, v, f)    H( x, w, v, f, g, k)    I( x, w, v, f, g, k)    J( x, w, v)    K( x, w, v, f, g, k)    L( x, w, v)    N( x, w, v, f, g, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, g, k)    X( f)    .0. ( w, v, f, g, k)

Proof of Theorem lcfrlem27
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfrlem24.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcfrlem24.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcfrlem24.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcfrlem17.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 eqid 2436 . . . . 5  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
11 lcfrlem24.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcfrlem25.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  U )
13 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
14 eqid 2436 . . . . 5  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
15 lcfrlem24.j . . . . 5  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
16 lcfrlem17.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
18 lcfrlem27.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
19 lcfrlem27.gs . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
20 lcfrlem27.e . . . . 5  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
21 lcfrlem27.ye . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
22 lcfrlem17.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
23 eldifsni 3921 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
25 eldifsn 3920 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  E  /\  Y  =/= 
.0.  ) )
2621, 24, 25sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 26lcfrlem16 32294 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  G )
28 lcfrlem17.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
29 lcfrlem17.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
30 lcfrlem17.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
31 lcfrlem17.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
32 lcfrlem22.b . . . . 5  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
33 lcfrlem24.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
34 lcfrlem24.ib . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
35 lcfrlem25.jz . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =  Q )
36 lcfrlem25.in . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =/=  .0.  )
371, 2, 3, 4, 5, 9, 28, 29, 16, 30, 22, 31, 32, 6, 7, 33, 8, 15, 34, 11, 12, 35, 36lcfrlem26 32304 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  ( J `  Y )
) ) )
38 fveq2 5721 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( J `  Y )  ->  ( L `  g )  =  ( L `  ( J `  Y ) ) )
3938fveq2d 5725 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( J `  Y )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 ( J `  Y ) ) ) )
4039eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( g  =  ( J `  Y )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  ( J `  Y ) ) ) ) )
4140rspcev 3045 . . . 4  |-  ( ( ( J `  Y
)  e.  G  /\  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  ( J `  Y ) ) ) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) ) )
4227, 37, 41syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
43 eliun 4090 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
4442, 43sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
4544, 20syl6eleqr 2527 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2699   {crab 2702    \ cdif 3310    i^i cin 3312    C_ wss 3313   {csn 3807   {cpr 3808   U_ciun 4086    e. cmpt 4259   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   iota_crio 6535   Basecbs 13462   +g cplusg 13522  Scalarcsca 13525   .scvsca 13526   0gc0g 13716   LSubSpclss 16001   LSpanclspn 16040  LSAtomsclsa 29710  LFnlclfn 29793  LKerclk 29821  LDualcld 29859   HLchlt 30086   LHypclh 30719   DVecHcdvh 31814   ocHcoch 32083
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  32316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-undef 6536  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-0g 13720  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-oppg 15135  df-lsm 15263  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-oppr 15721  df-dvdsr 15739  df-unit 15740  df-invr 15770  df-dvr 15781  df-drng 15830  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-lvec 16168  df-lsatoms 29712  df-lshyp 29713  df-lcv 29755  df-lfl 29794  df-lkr 29822  df-ldual 29860  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-llines 30233  df-lplanes 30234  df-lvols 30235  df-lines 30236  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723  df-laut 30724  df-ldil 30839  df-ltrn 30840  df-trl 30894  df-tgrp 31478  df-tendo 31490  df-edring 31492  df-dveca 31738  df-disoa 31765  df-dvech 31815  df-dib 31875  df-dic 31909  df-dih 31965  df-doch 32084  df-djh 32131
  Copyright terms: Public domain W3C validator