Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem3 32279
Description: Lemma for lcfr 32320. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem1.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem1.q  |-  .X.  =  ( .r `  S )
lcfrlem1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lcfrlem1.i  |-  I  =  ( invr `  S
)
lcfrlem1.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfrlem1.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem1.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
lcfrlem1.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
lcfrlem1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lcfrlem1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfrlem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lcfrlem1.n  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
lcfrlem1.h  |-  H  =  ( E  .-  (
( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )
lcfrlem2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( L `
 H ) )

Proof of Theorem lcfrlem3
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lcfrlem1.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  U )
3 lcfrlem1.q . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
4 lcfrlem1.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
5 lcfrlem1.i . . 3  |-  I  =  ( invr `  S
)
6 lcfrlem1.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 lcfrlem1.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
8 lcfrlem1.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  D )
9 lcfrlem1.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  D )
10 lcfrlem1.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
11 lcfrlem1.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
12 lcfrlem1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
13 lcfrlem1.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lcfrlem1.n . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
15 lcfrlem1.h . . 3  |-  H  =  ( E  .-  (
( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lcfrlem1 32277 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  =  .0.  )
17 lcfrlem2.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
18 lveclmod 16170 . . . . . 6  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
1910, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
20 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
212lmodrng 15950 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
232lvecdrng 16169 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
2410, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  DivRing )
252, 20, 1, 6lflcl 29799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  S
) )
2610, 12, 13, 25syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  ( Base `  S ) )
2720, 4, 5drnginvrcl 15844 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  ( I `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  S ) )
2824, 26, 14, 27syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  ( G `  X )
)  e.  ( Base `  S ) )
292, 20, 1, 6lflcl 29799 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  E  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( E `  X )  e.  ( Base `  S
) )
3010, 11, 13, 29syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  ( Base `  S ) )
3120, 3rngcl 15669 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
I `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( E `  X )  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  e.  ( Base `  S ) )
3222, 28, 30, 31syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  e.  ( Base `  S
) )
336, 2, 20, 7, 8, 19, 32, 12ldualvscl 29874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G )  e.  F )
346, 7, 9, 19, 11, 33ldualvsubcl 29891 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  .-  (
( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )  e.  F )
3515, 34syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
361, 2, 4, 6, 17, 10, 35, 13ellkr2 29826 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( L `  H )  <-> 
( H `  X
)  =  .0.  )
)
3716, 36mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( L `
 H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   -gcsg 14680   Ringcrg 15652   invrcinvr 15768   DivRingcdr 15827   LModclmod 15942   LVecclvec 16166  LFnlclfn 29792  LKerclk 29820  LDualcld 29858
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  32312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lvec 16167  df-lfl 29793  df-lkr 29821  df-ldual 29859
  Copyright terms: Public domain W3C validator