Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem32 Unicode version

Theorem lcfrlem32 31691
Description: Lemma for lcfr 31702. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
lcfrlem31.xi  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X ) `  I
)  =/=  Q )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem32  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( 0g
`  D ) )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, k)    A( x, w, v, k)    B( x, w, v, k)    C( x, w, v, k)    D( x, w, v, k)    Q( x, w, v, k)    R( w)    S( x, w, v)    U( x, w, v, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, k)    I( x, w, v, k)    J( x, w, v, k)    K( x, w, v, k)    L( x, w, v, k)    .- ( x, w, v, k)    N( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem lcfrlem32
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.ne . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcfrlem17.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfrlem17.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 lcfrlem17.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
7 lcfrlem17.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 lcfrlem17.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
9 lcfrlem17.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 lcfrlem17.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 lcfrlem17.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
14 lcfrlem17.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
161adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 lcfrlem22.b . . . . 5  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
18 lcfrlem24.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
19 lcfrlem24.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  U )
20 lcfrlem24.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
21 lcfrlem24.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
22 lcfrlem24.j . . . . 5  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
23 lcfrlem24.ib . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
2423adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  I  e.  B )
25 lcfrlem24.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
26 lcfrlem25.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  U )
27 lcfrlem28.jn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( ( J `  Y ) `  I )  =/=  Q
)
29 lcfrlem29.i . . . . 5  |-  F  =  ( invr `  S
)
30 lcfrlem30.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  D )
31 lcfrlem30.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
32 lcfrlem31.xi . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X ) `  I
)  =/=  Q )
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)
34 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  C  =  ( 0g `  D ) )
352, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34lcfrlem31 31690 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3635ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  =  ( 0g `  D )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
3736necon3d 2590 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  C  =/=  ( 0g `  D
) ) )
381, 37mpd 15 1  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( 0g
`  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   E.wrex 2652    \ cdif 3262    i^i cin 3264   {csn 3759   {cpr 3760    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   iota_crio 6480   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   .rcmulr 13459  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462   0gc0g 13652   -gcsg 14617   invrcinvr 15705   LSpanclspn 15976  LSAtomsclsa 29091  LKerclk 29202  LDualcld 29240   HLchlt 29467   LHypclh 30100   DVecHcdvh 31195   ocHcoch 31464
This theorem is referenced by:  lcfrlem34  31693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-undef 6481  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-0g 13656  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-oppg 15071  df-lsm 15199  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-dvr 15717  df-drng 15766  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lvec 16104  df-lsatoms 29093  df-lshyp 29094  df-lcv 29136  df-lfl 29175  df-lkr 29203  df-ldual 29241  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616  df-lines 29617  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-padd 29912  df-lhyp 30104  df-laut 30105  df-ldil 30220  df-ltrn 30221  df-trl 30275  df-tgrp 30859  df-tendo 30871  df-edring 30873  df-dveca 31119  df-disoa 31146  df-dvech 31196  df-dib 31256  df-dic 31290  df-dih 31346  df-doch 31465  df-djh 31512
  Copyright terms: Public domain W3C validator