Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem32 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem32 32273
Description: Lemma for lcfr 32284. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
lcfrlem31.xi  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X ) `  I
)  =/=  Q )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem32  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( 0g
`  D ) )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, k)    A( x, w, v, k)    B( x, w, v, k)    C( x, w, v, k)    D( x, w, v, k)    Q( x, w, v, k)    R( w)    S( x, w, v)    U( x, w, v, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, k)    I( x, w, v, k)    J( x, w, v, k)    K( x, w, v, k)    L( x, w, v, k)    .- ( x, w, v, k)    N( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem lcfrlem32
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.ne . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcfrlem17.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfrlem17.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 lcfrlem17.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
7 lcfrlem17.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 lcfrlem17.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
9 lcfrlem17.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 lcfrlem17.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 lcfrlem17.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
14 lcfrlem17.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
161adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 lcfrlem22.b . . . . 5  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
18 lcfrlem24.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
19 lcfrlem24.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  U )
20 lcfrlem24.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
21 lcfrlem24.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
22 lcfrlem24.j . . . . 5  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
23 lcfrlem24.ib . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
2423adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  I  e.  B )
25 lcfrlem24.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
26 lcfrlem25.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  U )
27 lcfrlem28.jn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( ( J `  Y ) `  I )  =/=  Q
)
29 lcfrlem29.i . . . . 5  |-  F  =  ( invr `  S
)
30 lcfrlem30.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  D )
31 lcfrlem30.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
32 lcfrlem31.xi . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X ) `  I
)  =/=  Q )
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)
34 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  C  =  ( 0g `  D ) )
352, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34lcfrlem31 32272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( 0g `  D ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3635ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  =  ( 0g `  D )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
3736necon3d 2636 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  C  =/=  ( 0g `  D
) ) )
381, 37mpd 15 1  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( 0g
`  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698    \ cdif 3309    i^i cin 3311   {csn 3806   {cpr 3807    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   .rcmulr 13520  Scalarcsca 13522   .scvsca 13523   0gc0g 13713   -gcsg 14678   invrcinvr 15766   LSpanclspn 16037  LSAtomsclsa 29673  LKerclk 29784  LDualcld 29822   HLchlt 30049   LHypclh 30682   DVecHcdvh 31777   ocHcoch 32046
This theorem is referenced by:  lcfrlem34  32275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-0g 13717  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-poset 14393  df-plt 14405  df-lub 14421  df-glb 14422  df-join 14423  df-meet 14424  df-p0 14458  df-p1 14459  df-lat 14465  df-clat 14527  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-cntz 15106  df-oppg 15132  df-lsm 15260  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-dvr 15778  df-drng 15827  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-lvec 16165  df-lsatoms 29675  df-lshyp 29676  df-lcv 29718  df-lfl 29757  df-lkr 29785  df-ldual 29823  df-oposet 29875  df-ol 29877  df-oml 29878  df-covers 29965  df-ats 29966  df-atl 29997  df-cvlat 30021  df-hlat 30050  df-llines 30196  df-lplanes 30197  df-lvols 30198  df-lines 30199  df-psubsp 30201  df-pmap 30202  df-padd 30494  df-lhyp 30686  df-laut 30687  df-ldil 30802  df-ltrn 30803  df-trl 30857  df-tgrp 31441  df-tendo 31453  df-edring 31455  df-dveca 31701  df-disoa 31728  df-dvech 31778  df-dib 31838  df-dic 31872  df-dih 31928  df-doch 32047  df-djh 32094
  Copyright terms: Public domain W3C validator