Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem36 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem36 32438
Description: Lemma for lcfr 32445. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem36  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, k)    A( x, w, v, k)    B( x, w, v, k)    C( x, w, v, k)    D( x, w, v, k)    Q( x, w, v, k)    R( w)    S( x, w, v)    U( x, w, v, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, k)    I( x, w, v, k)    J( x, w, v, k)    K( x, w, v, k)    L( x, w, v, k)    .- ( x, w, v, k)    N( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem lcfrlem36
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 lcfrlem17.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 lcfrlem17.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
8 lcfrlem17.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 lcfrlem17.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 lcfrlem17.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
11 lcfrlem17.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 lcfrlem17.ne . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
131, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 32419 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14dochocsn 32241 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( N `
 { ( X 
.+  Y ) } ) )
16 lcfrlem22.b . . . . . 6  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
17 lcfrlem24.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  U )
18 lcfrlem24.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  U )
19 lcfrlem24.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
20 lcfrlem24.r . . . . . 6  |-  R  =  ( Base `  S
)
21 lcfrlem24.j . . . . . 6  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
22 lcfrlem24.ib . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
23 lcfrlem24.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
24 lcfrlem25.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
25 lcfrlem28.jn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
26 lcfrlem29.i . . . . . 6  |-  F  =  ( invr `  S
)
27 lcfrlem30.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  D )
28 lcfrlem30.c . . . . . 6  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
291, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem35 32437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( L `  C ) )
3029fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
3115, 30eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  =  (  ._|_  `  ( L `
 C ) ) )
32 eqimss 3402 . . 3  |-  ( ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( 
._|_  `  ( L `  C ) )  -> 
( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  C ) ) )
3331, 32syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  C ) ) )
34 eqid 2438 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 6dvhlmod 31970 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
36 eqid 2438 . . . . 5  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
371, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem30 32432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  (LFnl `  U ) )
384, 36, 23, 35, 37lkrssv 29956 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  C
)  C_  V )
391, 2, 4, 34, 3dochlss 32214 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  C )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  C
) )  e.  (
LSubSp `  U ) )
406, 38, 39syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 C ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
414, 34, 5, 35, 40, 14lspsnel5 16073 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  C ) )  <->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  C )
) ) )
4233, 41mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   {cpr 3817    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   iota_crio 6544   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725   -gcsg 14690   invrcinvr 15778   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049  LSAtomsclsa 29834  LFnlclfn 29917  LKerclk 29945  LDualcld 29983   HLchlt 30210   LHypclh 30843   DVecHcdvh 31938   ocHcoch 32207
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  32439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29836  df-lshyp 29837  df-lcv 29879  df-lfl 29918  df-lkr 29946  df-ldual 29984  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tgrp 31602  df-tendo 31614  df-edring 31616  df-dveca 31862  df-disoa 31889  df-dvech 31939  df-dib 31999  df-dic 32033  df-dih 32089  df-doch 32208  df-djh 32255
  Copyright terms: Public domain W3C validator