Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem37 32314
Description: Lemma for lcfr 32320. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
lcfrlem37.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
lcfrlem37.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
lcfrlem37.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem37.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem37.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.    f, J    f, L    ._|_ ,
f    .+ , f    R, f    .x. , f    U, f    f, V   
f, X    f, Y, k, v, w, x, g    C, g, k    D, g, k    g, G, k   
g, I, k    f,
g, J, k    g, L, k    ._|_ , g    .+ , g    Q, g, k    U, k   
g, V    g, X    g, Y    ph, g, k    v,
g, w, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f)    A( x, w, v, f, g, k)    B( x, w, v, f, g, k)    C( x, w, v, f)    D( x, w, v, f)    Q( x, w, v, f)    R( w, g)    S( x, w, v, f, g)    .x. ( g)    U( x, w, v, g)    E( x, w, v, f, g, k)    F( x, w, v, f, g, k)    G( x, w, v, f)    H( x, w, v, f, g, k)    I( x, w, v, f)    J( x, w, v)    K( x, w, v, f, g, k)    L( x, w, v)    .- ( x, w, v, f, g, k)    N( x, w, v, f, g, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, g, k)    .0. ( w, v, f, g, k)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
2 lcfrlem25.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
3 lcfrlem30.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  D )
4 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7dvhlmod 31845 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
9 lcfrlem37.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  U )
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Scalar `  U )
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Base `  S
)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
17 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LKer `  U )
19 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
20 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
26 eldifsni 3920 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
28 eldifsn 3919 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  E  /\  X  =/= 
.0.  ) )
2924, 27, 28sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 32293 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  G )
31 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  D )  =  ( .s `  D
)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  U )
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8  |-  F  =  ( invr `  S
)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 32306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
)  e.  R )
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
43 eldifsni 3920 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4434, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
45 eldifsn 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  E  /\  Y  =/= 
.0.  ) )
4642, 44, 45sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 32293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  G )
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 29893 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( J `
 Y ) `  I ) ) ( .r `  S ) ( ( J `  X ) `  I
) ) ( .s
`  D ) ( J `  Y ) )  e.  G )
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 29894 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )  e.  G )
501, 49syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  G )
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 32313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
52 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( g  =  C  ->  ( L `  g )  =  ( L `  C ) )
5352fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( g  =  C  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 C ) ) )
5453eleq2d 2502 . . . . 5  |-  ( g  =  C  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  C ) ) ) )
5554rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( C  e.  G  /\  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  C )
) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) ) )
5650, 51, 55syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
57 eliun 4089 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5856, 57sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5958, 23syl6eleqr 2526 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   {cpr 3807   U_ciun 4085    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   -gcsg 14680   invrcinvr 15768   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039  LSAtomsclsa 29709  LFnlclfn 29792  LKerclk 29820  LDualcld 29858   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DVecHcdvh 31813   ocHcoch 32082
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  32315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29711  df-lshyp 29712  df-lcv 29754  df-lfl 29793  df-lkr 29821  df-ldual 29859  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tgrp 31477  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dveca 31737  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874  df-dic 31908  df-dih 31964  df-doch 32083  df-djh 32130
  Copyright terms: Public domain W3C validator