Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem40 Unicode version

Theorem lcfrlem40 31772
Description: Lemma for lcfr 31775. Eliminate  B and  I. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem38.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem38.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem38.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem38.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfrlem38.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem38.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem38.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem38.c  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
lcfrlem38.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem38.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem38.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem38.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
lcfrlem38.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem38.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
lcfrlem38.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem38.x  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
lcfrlem38.y  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
lcfrlem38.sp  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem38.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem40  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    D, g    g, G    f, g, L    ._|_ , f, g    .+ , f,
g    U, f, g    f, X, g    f, Y, g    .0. , f, g    ph, g    g, N
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f, g)    D( f)    Q( f, g)    E( f, g)    F( f, g)    G( f)    H( f, g)    K( f, g)    N( f)    W( f, g)

Proof of Theorem lcfrlem40
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
2 eqid 2283 . . 3  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
3 lcfrlem38.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 lcfrlem38.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfrlem38.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31300 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 lcfrlem38.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
9 lcfrlem38.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
10 lcfrlem38.sp . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
11 lcfrlem38.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcfrlem38.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
13 lcfrlem38.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
14 lcfrlem38.e . . . . . 6  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
15 lcfrlem38.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
173, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 16lcfrlem4 31735 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
18 lcfrlem38.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
19 eldifsn 3749 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ( Base `  U )  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  ( Base `  U
)  /\  X  =/=  .0.  ) )
2017, 18, 19sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
Base `  U )  \  {  .0.  } ) )
21 lcfrlem38.ye . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
223, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 21lcfrlem4 31735 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  U ) )
23 lcfrlem38.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
24 eldifsn 3749 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  U )  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  ( Base `  U
)  /\  Y  =/=  .0.  ) )
2522, 23, 24sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( (
Base `  U )  \  {  .0.  } ) )
26 lcfrlem38.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
273, 7, 4, 8, 9, 1, 10, 2, 5, 20, 25, 26lcfrlem21 31753 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  (LSAtoms `  U
) )
281, 2, 6, 27lsateln0 29185 . 2  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) i  =/=  .0.  )
29 lcfrlem38.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
30 lcfrlem38.c . . . 4  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
3153ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
32153ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  G  e.  Q )
33 lcfrlem38.gs . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
34333ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  G  C_  C )
35163ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  X  e.  E )
36213ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  Y  e.  E )
37183ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  X  =/=  .0.  )
38233ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  Y  =/=  .0.  )
39263ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
40 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( N `  { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
41 simp2 956 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
42 simp3 957 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  i  =/=  .0.  )
433, 7, 4, 9, 29, 11, 12, 13, 30, 14, 31, 32, 34, 35, 36, 1, 37, 38, 10, 39, 40, 41, 42lcfrlem39 31771 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  ( X  .+  Y )  e.  E )
4443rexlimdv3a 2669 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) i  =/=  .0.  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E ) )
4528, 44mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   U_ciun 3905   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LSAtomsclsa 29164  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275  LDualcld 29313   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   ocHcoch 31537
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  31773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lcv 29209  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-ldual 29314  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585
  Copyright terms: Public domain W3C validator