Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem40 Unicode version

Theorem lcfrlem40 32394
Description: Lemma for lcfr 32397. Eliminate  B and  I. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem38.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem38.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem38.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem38.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfrlem38.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem38.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem38.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem38.c  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
lcfrlem38.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem38.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem38.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem38.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
lcfrlem38.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem38.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
lcfrlem38.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem38.x  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
lcfrlem38.y  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
lcfrlem38.sp  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem38.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem40  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    D, g    g, G    f, g, L    ._|_ , f, g    .+ , f,
g    U, f, g    f, X, g    f, Y, g    .0. , f, g    ph, g    g, N
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f, g)    D( f)    Q( f, g)    E( f, g)    F( f, g)    G( f)    H( f, g)    K( f, g)    N( f)    W( f, g)

Proof of Theorem lcfrlem40
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
2 eqid 2296 . . 3  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
3 lcfrlem38.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 lcfrlem38.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfrlem38.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31922 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 lcfrlem38.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
9 lcfrlem38.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
10 lcfrlem38.sp . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
11 lcfrlem38.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcfrlem38.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
13 lcfrlem38.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
14 lcfrlem38.e . . . . . 6  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
15 lcfrlem38.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
173, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 16lcfrlem4 32357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
18 lcfrlem38.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
19 eldifsn 3762 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ( Base `  U )  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  ( Base `  U
)  /\  X  =/=  .0.  ) )
2017, 18, 19sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
Base `  U )  \  {  .0.  } ) )
21 lcfrlem38.ye . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
223, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 21lcfrlem4 32357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  U ) )
23 lcfrlem38.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
24 eldifsn 3762 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  U )  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  ( Base `  U
)  /\  Y  =/=  .0.  ) )
2522, 23, 24sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( (
Base `  U )  \  {  .0.  } ) )
26 lcfrlem38.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
273, 7, 4, 8, 9, 1, 10, 2, 5, 20, 25, 26lcfrlem21 32375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  (LSAtoms `  U
) )
281, 2, 6, 27lsateln0 29807 . 2  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) i  =/=  .0.  )
29 lcfrlem38.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
30 lcfrlem38.c . . . 4  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
3153ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
32153ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  G  e.  Q )
33 lcfrlem38.gs . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
34333ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  G  C_  C )
35163ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  X  e.  E )
36213ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  Y  e.  E )
37183ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  X  =/=  .0.  )
38233ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  Y  =/=  .0.  )
39263ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
40 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ( N `  { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
41 simp2 956 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
42 simp3 957 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  i  =/=  .0.  )
433, 7, 4, 9, 29, 11, 12, 13, 30, 14, 31, 32, 34, 35, 36, 1, 37, 38, 10, 39, 40, 41, 42lcfrlem39 32393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  /\  i  =/= 
.0.  )  ->  ( X  .+  Y )  e.  E )
4443rexlimdv3a 2682 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) i  =/=  .0.  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E ) )
4528, 44mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   U_ciun 3921   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744  LSAtomsclsa 29786  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897  LDualcld 29935   HLchlt 30162   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890   ocHcoch 32159
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  32395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lshyp 29789  df-lcv 29831  df-lfl 29870  df-lkr 29898  df-ldual 29936  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dveca 31814  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160  df-djh 32207
  Copyright terms: Public domain W3C validator