Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem42 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem42 32444
Description: Lemma for lcfr 32445. Eliminate nonzero condition. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem38.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem38.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem38.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem38.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfrlem38.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem38.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem38.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem38.c  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
lcfrlem38.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem38.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem38.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem38.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
lcfrlem38.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem38.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem42  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    D, g    g, G    f, g, L    ._|_ , f, g    .+ , f,
g    U, f, g    f, X, g    f, Y, g    ph, g
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f, g)    D( f)    Q( f, g)    E( f, g)    F( f, g)    G( f)    H( f, g)    K( f, g)    W( f, g)

Proof of Theorem lcfrlem42
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem38.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfrlem38.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 31970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 lcfrlem38.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
6 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
7 lcfrlem38.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
8 lcfrlem38.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
9 lcfrlem38.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
10 lcfrlem38.e . . . . . 6  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
11 lcfrlem38.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
12 lcfrlem38.xe . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
131, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 12lcfrlem4 32405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
14 lcfrlem38.ye . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
151, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 14lcfrlem4 32405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  U ) )
16 lcfrlem38.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  U )
176, 16lmodcom 15992 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  U
)  /\  Y  e.  ( Base `  U )
)  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) )
184, 13, 15, 17syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
1918adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) )
203adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2111adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  G  e.  Q )
2214adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  Y  e.  E )
23 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
24 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  X  =  ( 0g `  U ) )
251, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 20, 21, 10, 22, 23, 24lcfrlem7 32408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( Y  .+  X )  e.  E
)
2619, 25eqeltrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  E
)
273adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2811adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  G  e.  Q )
2912adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  X  e.  E )
30 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  Y  =  ( 0g `  U ) )
311, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 27, 28, 10, 29, 23, 30lcfrlem7 32408 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  E
)
32 lcfrlem38.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
33 lcfrlem38.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
343adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3511adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  G  e.  Q )
36 lcfrlem38.gs . . . 4  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
3736adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  G  C_  C )
3812adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  E )
3914adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  E )
40 simprl 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
41 simprr 735 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U
) )
421, 5, 2, 16, 32, 7, 8, 9, 33, 10, 34, 35, 37, 38, 39, 23, 40, 41lcfrlem41 32443 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  E )
4326, 31, 42pm2.61da2ne 2685 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711    C_ wss 3322   U_ciun 4095   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010  LFnlclfn 29917  LKerclk 29945  LDualcld 29983   HLchlt 30210   LHypclh 30843   DVecHcdvh 31938   ocHcoch 32207
This theorem is referenced by:  lcfr  32445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29836  df-lshyp 29837  df-lcv 29879  df-lfl 29918  df-lkr 29946  df-ldual 29984  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tgrp 31602  df-tendo 31614  df-edring 31616  df-dveca 31862  df-disoa 31889  df-dvech 31939  df-dib 31999  df-dic 32033  df-dih 32089  df-doch 32208  df-djh 32255
  Copyright terms: Public domain W3C validator