Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2 32404
Description: The set of functionals having closed kernels is closed under vector (functional) addition. Lemmas lclkrlem2a 32379 through lclkrlem2y 32403 are used for the proof. Here we express lclkrlem2y 32403 in terms of membership in the set  C of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lclkrlem2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2.e  |-  ( ph  ->  E  e.  C )
lclkrlem2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  C )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2  |-  ( ph  ->  ( E  .+  G
)  e.  C )
Distinct variable groups:    f, E    f, F    f, G    f, L   
._|_ , f    .+ , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( f)    U( f)    H( f)    K( f)    W( f)

Proof of Theorem lclkrlem2
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
2 lclkrlem2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lclkrlem2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lclkrlem2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lclkrlem2.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 lclkrlem2.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
7 lclkrlem2.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  D )
8 lclkrlem2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 lclkrlem2.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  C )
10 lclkrlem2.c . . . . . 6  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
1110lcfl1lem 32363 . . . . 5  |-  ( E  e.  C  <->  ( E  e.  F  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E )
) )  =  ( L `  E ) ) )
1211simplbi 448 . . . 4  |-  ( E  e.  C  ->  E  e.  F )
139, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
14 lclkrlem2.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  C )
1510lcfl1lem 32363 . . . . 5  |-  ( G  e.  C  <->  ( G  e.  F  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
1615simplbi 448 . . . 4  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  F )
1714, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1810, 13lcfl1 32364 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E )
) )  =  ( L `  E ) ) )
199, 18mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E
) ) )  =  ( L `  E
) )
2010, 17lcfl1 32364 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
2114, 20mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 17, 19, 21lclkrlem2y 32403 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
232, 4, 8dvhlmod 31982 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
245, 6, 7, 23, 13, 17ldualvaddcl 30002 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  .+  G
)  e.  F )
2510, 24lcfl1 32364 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G )  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )
2622, 25mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( E  .+  G
)  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   +g cplusg 13534  LFnlclfn 29929  LKerclk 29957  LDualcld 29995   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950   ocHcoch 32219
This theorem is referenced by:  lclkr  32405  lclkrslem2  32410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-oppg 15147  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-lshyp 29849  df-lcv 29891  df-lfl 29930  df-lkr 29958  df-ldual 29996  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tgrp 31614  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-dveca 31874  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267
  Copyright terms: Public domain W3C validator