Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2r Unicode version

Theorem lclkrlem2r 31785
Description: Lemma for lclkr 31794. When  B is zero, i.e. when  X and  Y are colinear, the intersection of the kernels of  E and  G equal the kernel of  G, so the kernels of  G and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lclkrlem2m.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lclkrlem2m.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lclkrlem2m.q  |-  .X.  =  ( .r `  S )
lclkrlem2m.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lclkrlem2m.i  |-  I  =  ( invr `  S
)
lclkrlem2m.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
lclkrlem2m.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2m.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2m.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2m.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lclkrlem2m.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lclkrlem2m.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lclkrlem2m.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lclkrlem2n.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lclkrlem2n.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.a  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
lclkrlem2o.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2q.le  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
lclkrlem2q.lg  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
lclkrlem2q.b  |-  B  =  ( X  .-  (
( ( ( E 
.+  G ) `  X )  .X.  (
I `  ( ( E  .+  G ) `  Y ) ) ) 
.x.  Y ) )
lclkrlem2q.n  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
lclkrlem2r.bn  |-  ( ph  ->  B  =  ( 0g
`  U ) )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2r  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )

Proof of Theorem lclkrlem2r
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lclkrlem2m.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
3 lclkrlem2m.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  U )
4 lclkrlem2m.q . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  S )
5 lclkrlem2m.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
6 lclkrlem2m.i . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  S
)
7 lclkrlem2m.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 lclkrlem2m.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lclkrlem2m.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  U )
10 lclkrlem2m.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  D )
11 lclkrlem2m.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 lclkrlem2m.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 lclkrlem2m.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
14 lclkrlem2m.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
15 lclkrlem2n.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
16 lclkrlem2n.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
17 lclkrlem2o.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 lclkrlem2o.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
19 lclkrlem2o.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
20 lclkrlem2o.a . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
21 lclkrlem2o.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 lclkrlem2q.b . . . . 5  |-  B  =  ( X  .-  (
( ( ( E 
.+  G ) `  X )  .X.  (
I `  ( ( E  .+  G ) `  Y ) ) ) 
.x.  Y ) )
23 lclkrlem2q.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
24 lclkrlem2r.bn . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( 0g
`  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2p 31783 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  { X }
) )
26 lclkrlem2q.lg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
27 lclkrlem2q.le . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2825, 26, 273sstr4d 3307 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  E ) )
29 dfss1 3461 . . 3  |-  ( ( L `  G ) 
C_  ( L `  E )  <->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G
) )  =  ( L `  G ) )
3028, 29sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  =  ( L `
 G ) )
3117, 19, 21dvhlmod 31371 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
328, 16, 9, 10, 31, 13, 14lkrin 29425 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )
3330, 32eqsstr3d 3299 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529    i^i cin 3237    C_ wss 3238   {csn 3729   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   .rcmulr 13417  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   0gc0g 13610   -gcsg 14575   LSSumclsm 15155   invrcinvr 15663   LSpanclspn 15938  LFnlclfn 29318  LKerclk 29346  LDualcld 29384   HLchlt 29611   LHypclh 30244   DVecHcdvh 31339   ocHcoch 31608
This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  31786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-fal 1325  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-undef 6440  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-p1 14356  df-lat 14362  df-clat 14424  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066  df-lsatoms 29237  df-lfl 29319  df-lkr 29347  df-ldual 29385  df-oposet 29437  df-ol 29439  df-oml 29440  df-covers 29527  df-ats 29528  df-atl 29559  df-cvlat 29583  df-hlat 29612  df-llines 29758  df-lplanes 29759  df-lvols 29760  df-lines 29761  df-psubsp 29763  df-pmap 29764  df-padd 30056  df-lhyp 30248  df-laut 30249  df-ldil 30364  df-ltrn 30365  df-trl 30419  df-tendo 31015  df-edring 31017  df-disoa 31290  df-dvech 31340  df-dib 31400  df-dic 31434  df-dih 31490  df-doch 31609
  Copyright terms: Public domain W3C validator