Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2r Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2r 32420
Description: Lemma for lclkr 32429. When  B is zero, i.e. when  X and  Y are colinear, the intersection of the kernels of  E and  G equal the kernel of  G, so the kernels of  G and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lclkrlem2m.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lclkrlem2m.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lclkrlem2m.q  |-  .X.  =  ( .r `  S )
lclkrlem2m.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lclkrlem2m.i  |-  I  =  ( invr `  S
)
lclkrlem2m.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
lclkrlem2m.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2m.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2m.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2m.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lclkrlem2m.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lclkrlem2m.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lclkrlem2m.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lclkrlem2n.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lclkrlem2n.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.a  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
lclkrlem2o.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2q.le  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
lclkrlem2q.lg  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
lclkrlem2q.b  |-  B  =  ( X  .-  (
( ( ( E 
.+  G ) `  X )  .X.  (
I `  ( ( E  .+  G ) `  Y ) ) ) 
.x.  Y ) )
lclkrlem2q.n  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
lclkrlem2r.bn  |-  ( ph  ->  B  =  ( 0g
`  U ) )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2r  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )

Proof of Theorem lclkrlem2r
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lclkrlem2m.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
3 lclkrlem2m.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  U )
4 lclkrlem2m.q . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  S )
5 lclkrlem2m.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
6 lclkrlem2m.i . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  S
)
7 lclkrlem2m.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 lclkrlem2m.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lclkrlem2m.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  U )
10 lclkrlem2m.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  D )
11 lclkrlem2m.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 lclkrlem2m.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 lclkrlem2m.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
14 lclkrlem2m.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
15 lclkrlem2n.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
16 lclkrlem2n.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
17 lclkrlem2o.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 lclkrlem2o.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
19 lclkrlem2o.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
20 lclkrlem2o.a . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
21 lclkrlem2o.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 lclkrlem2q.b . . . . 5  |-  B  =  ( X  .-  (
( ( ( E 
.+  G ) `  X )  .X.  (
I `  ( ( E  .+  G ) `  Y ) ) ) 
.x.  Y ) )
23 lclkrlem2q.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
24 lclkrlem2r.bn . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( 0g
`  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2p 32418 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  { X }
) )
26 lclkrlem2q.lg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
27 lclkrlem2q.le . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2825, 26, 273sstr4d 3377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  E ) )
29 dfss1 3531 . . 3  |-  ( ( L `  G ) 
C_  ( L `  E )  <->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G
) )  =  ( L `  G ) )
3028, 29sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  =  ( L `
 G ) )
3117, 19, 21dvhlmod 32006 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
328, 16, 9, 10, 31, 13, 14lkrin 30060 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )
3330, 32eqsstr3d 3369 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605    i^i cin 3305    C_ wss 3306   {csn 3838   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   .rcmulr 13561  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   0gc0g 13754   -gcsg 14719   LSSumclsm 15299   invrcinvr 15807   LSpanclspn 16078  LFnlclfn 29953  LKerclk 29981  LDualcld 30019   HLchlt 30246   LHypclh 30879   DVecHcdvh 31974   ocHcoch 32243
This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  32421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-undef 6572  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-0g 13758  df-poset 14434  df-plt 14446  df-lub 14462  df-glb 14463  df-join 14464  df-meet 14465  df-p0 14499  df-p1 14500  df-lat 14506  df-clat 14568  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-dvr 15819  df-drng 15868  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206  df-lsatoms 29872  df-lfl 29954  df-lkr 29982  df-ldual 30020  df-oposet 30072  df-ol 30074  df-oml 30075  df-covers 30162  df-ats 30163  df-atl 30194  df-cvlat 30218  df-hlat 30247  df-llines 30393  df-lplanes 30394  df-lvols 30395  df-lines 30396  df-psubsp 30398  df-pmap 30399  df-padd 30691  df-lhyp 30883  df-laut 30884  df-ldil 30999  df-ltrn 31000  df-trl 31054  df-tendo 31650  df-edring 31652  df-disoa 31925  df-dvech 31975  df-dib 32035  df-dic 32069  df-dih 32125  df-doch 32244
  Copyright terms: Public domain W3C validator