Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2t Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2t 32324
Description: Lemma for lclkr 32331. We eliminate all hypotheses with  B here. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lclkrlem2m.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lclkrlem2m.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lclkrlem2m.q  |-  .X.  =  ( .r `  S )
lclkrlem2m.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lclkrlem2m.i  |-  I  =  ( invr `  S
)
lclkrlem2m.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
lclkrlem2m.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2m.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2m.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2m.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lclkrlem2m.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lclkrlem2m.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lclkrlem2m.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lclkrlem2n.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lclkrlem2n.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.a  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
lclkrlem2o.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2q.le  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
lclkrlem2q.lg  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
lclkrlem2t.n  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2t  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )

Proof of Theorem lclkrlem2t
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lclkrlem2m.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
3 lclkrlem2m.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  U )
4 lclkrlem2m.q . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
5 lclkrlem2m.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
6 lclkrlem2m.i . . 3  |-  I  =  ( invr `  S
)
7 lclkrlem2m.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 lclkrlem2m.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lclkrlem2m.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
10 lclkrlem2m.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  D )
11 lclkrlem2m.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  X  e.  V )
13 lclkrlem2m.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1413adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  Y  e.  V )
15 lclkrlem2m.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  E  e.  F )
17 lclkrlem2m.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1817adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  G  e.  F )
19 lclkrlem2n.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
20 lclkrlem2n.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
21 lclkrlem2o.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
22 lclkrlem2o.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
23 lclkrlem2o.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
24 lclkrlem2o.a . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
25 lclkrlem2o.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2625adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
27 lclkrlem2q.le . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2827adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
29 lclkrlem2q.lg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
3029adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { Y }
) )
31 eqid 2436 . . 3  |-  ( X 
.-  ( ( ( ( E  .+  G
) `  X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `  X
)  .X.  ( I `  ( ( E  .+  G ) `  Y
) ) )  .x.  Y ) )
32 lclkrlem2t.n . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
3332adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  .0.  )
34 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 34lclkrlem2s 32323 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) )
3611adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  X  e.  V
)
3713adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  Y  e.  V
)
3815adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E  e.  F
)
3917adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  G  e.  F
)
4025adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4127adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
4229adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { Y }
) )
4332adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =/=  .0.  )
44 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 40, 41, 42, 31, 43, 44lclkrlem2q 32321 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  .-  ( ( ( ( E  .+  G ) `
 X )  .X.  ( I `  (
( E  .+  G
) `  Y )
) )  .x.  Y
) )  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E  .+  G ) ) )
4635, 45pm2.61dane 2682 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {csn 3814   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   -gcsg 14688   LSSumclsm 15268   invrcinvr 15776   LSpanclspn 16047  LFnlclfn 29855  LKerclk 29883  LDualcld 29921   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DVecHcdvh 31876   ocHcoch 32145
This theorem is referenced by:  lclkrlem2u  32325  lclkrlem2x  32328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-lshyp 29775  df-lcv 29817  df-lfl 29856  df-lkr 29884  df-ldual 29922  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tgrp 31540  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-dveca 31800  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027  df-doch 32146  df-djh 32193
  Copyright terms: Public domain W3C validator