Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2y Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2y 32330
Description: Lemma for lclkr 32332. Restate the hypotheses for  E and  G to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors  X and  Y. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2y.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2y.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2y.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2y.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2y.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2y.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2y.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2y.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2y.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lclkrlem2y.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lclkrlem2y.le  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E
) ) )  =  ( L `  E
) )
lclkrlem2y.lg  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2y  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )

Proof of Theorem lclkrlem2y
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2y.lg . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
2 lclkrlem2y.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lclkrlem2y.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lclkrlem2y.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2437 . . . 4  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
6 lclkrlem2y.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 lclkrlem2y.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
8 lclkrlem2y.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 lclkrlem2y.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcfl8a 32302 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G )  <->  E. y  e.  ( Base `  U
) ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) ) )
111, 10mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  (
Base `  U )
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
12 lclkrlem2y.le . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E
) ) )  =  ( L `  E
) )
13 lclkrlem2y.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13lcfl8a 32302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E ) ) )  =  ( L `  E )  <->  E. x  e.  ( Base `  U
) ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
) ) )
1512, 14mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  (
Base `  U )
( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { x } ) )
16 lclkrlem2y.d . . . . . . . 8  |-  D  =  (LDual `  U )
17 lclkrlem2y.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  D )
1883ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simp21 991 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  x  e.  ( Base `  U
) )
20 simp23 993 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  y  e.  ( Base `  U
) )
21133ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  E  e.  F )
2293ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  G  e.  F )
23 simp22 992 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  ( L `  E )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
24 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } ) )
257, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2x 32329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) )
26253exp 1153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  U
)  /\  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  /\  y  e.  ( Base `  U )
)  ->  ( ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) ) ) )
27263expd 1171 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  U )  ->  ( ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  ->  ( y  e.  ( Base `  U
)  ->  ( ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) ) ) ) ) )
2827rexlimdv 2830 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( Base `  U
) ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  ->  ( y  e.  ( Base `  U
)  ->  ( ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
y } )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) ) ) ) )
2915, 28mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
Base `  U )  ->  ( ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) ) )
3029rexlimdv 2830 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( Base `  U
) ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { y } )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )
3111, 30mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707   {csn 3815   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530  LFnlclfn 29856  LKerclk 29884  LDualcld 29922   HLchlt 30149   LHypclh 30782   DVecHcdvh 31877   ocHcoch 32146
This theorem is referenced by:  lclkrlem2  32331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-oppg 15143  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176  df-lsatoms 29775  df-lshyp 29776  df-lcv 29818  df-lfl 29857  df-lkr 29885  df-ldual 29923  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tgrp 31541  df-tendo 31553  df-edring 31555  df-dveca 31801  df-disoa 31828  df-dvech 31878  df-dib 31938  df-dic 31972  df-dih 32028  df-doch 32147  df-djh 32194
  Copyright terms: Public domain W3C validator